1. A quantidade de \mathrm{CO}_{2} (em \mathrm{g} / \mathrm{km} ) que um determinado carro emite a cada quilômetro percorrido é dada aproximadamente pela expressão 1000-40 v+v^{2} / 2, em que v é a velocidade do carro, em km/h. Determine a que velocidade deve-se trafegar com esse carro para que a quantidade emitida de \mathrm{CO}_{2} não ultrapasse 250 \mathrm{~g} / \mathrm{km}.

Passo 1

O enunciado dá a quantidade de \mathrm{CO}_2 emitida por quilômetro como função da velocidade v (em \mathrm{km/h}):
E(v)=1000-40v+\frac{v^{2}}{2},
e pede: para quais velocidades v a emissão não ultrapassa \,250\\ \mathrm{g/km}. Em outras palavras, queremos todos os valores de v tais que a emissão seja menor ou igual a \,250.

Passo 2

Traduzir a condição "não ultrapasse \,250" para uma desigualdade matemática:
E(v)\le 250.
Substituindo E(v):
1000-40v+\frac{v^{2}}{2}\le 250.

Passo 3

Passar todos os termos para um lado para obter uma desigualdade do tipo quadrática ≤ 0. Subtraindo \,250 de ambos os lados:
1000-40v+\frac{v^{2}}{2}-250\le 0.
Simplificando 1000-250=750:
\frac{v^{2}}{2}-40v+750\le 0.

Passo 4

Multiplicar a desigualdade por 2 para eliminar o coeficiente fracionário no termo v^{2}. Como 2>0, a direção da desigualdade não muda:
v^{2}-80v+1500\le 0.
Agora temos uma desigualdade quadrática padrão \,v^{2}-80v+1500\le 0.

Passo 5

Para resolver uma desigualdade quadrática, primeiro encontramos as raízes da equação associada \,v^{2}-80v+1500=0. Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
v=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde, no polinômio av^{2}+bv+c, aqui a=1, b=-80, c=1500. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-80)^{2}-4\cdot 1\cdot 1500 = 6400-6000=400.
A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{\Delta}=\sqrt{400}=20. Portanto as raízes são
v=\frac{-(-80)\pm 20}{2\cdot 1}=\frac{80\pm 20}{2}.
Isso dá as duas raízes
v_{1}=\frac{80-20}{2}=\frac{60}{2}=30, \qquad v_{2}=\frac{80+20}{2}=\frac{100}{2}=50.

Passo 6

Interpretar a desigualdade com base nas raízes: o polinômio v^{2}-80v+1500 é uma parábola com coeficiente a=1>0, ou seja, volta para cima. Para uma parábola voltada para cima, a região onde v^{2}-80v+1500\le 0 é o intervalo entre as raízes (incluindo-as). Portanto a solução da desigualdade é
30\le v\le 50.
Como verificação rápida: em v=30 e v=50 a emissão é exatamente 250 (pontos limite), para v entre esses valores a emissão é menor que 250, e para v<30 ou v>50 a emissão é maior que 250.

Passo 7

Interpretação final e observações práticas: para que a quantidade de \mathrm{CO}_2 não ultrapasse \,250\\ \mathrm{g/km}, deve-se trafegar com o carro a uma velocidade entre \,30 e \,50\\ \mathrm{km/h}, inclusive. Velocidades abaixo de \,30\\ \mathrm{km/h} ou acima de \,50\\ \mathrm{km/h} resultam em emissões superiores a \,250\\ \mathrm{g/km}.

Resposta

30\le v\le 50\\ \mathrm{km/h}

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