- A quantidade de
(em
) que um determinado carro emite a cada quilômetro percorrido é dada aproximadamente pela expressão
, em que
é a velocidade do carro, em km/h. Determine a que velocidade deve-se trafegar com esse carro para que a quantidade emitida de
não ultrapasse
.
Passo 1
O enunciado dá a quantidade de
emitida por quilômetro como função da velocidade
(em
):
e pede: para quais velocidades
a emissão não ultrapassa
. Em outras palavras, queremos todos os valores de
tais que a emissão seja menor ou igual a
.
Passo 2
Traduzir a condição "não ultrapasse
" para uma desigualdade matemática:
Substituindo
:
Passo 3
Passar todos os termos para um lado para obter uma desigualdade do tipo quadrática ≤ 0. Subtraindo
de ambos os lados:
Simplificando
:
Passo 4
Multiplicar a desigualdade por
para eliminar o coeficiente fracionário no termo
. Como
, a direção da desigualdade não muda:
Agora temos uma desigualdade quadrática padrão
.
Passo 5
Para resolver uma desigualdade quadrática, primeiro encontramos as raízes da equação associada
. Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
onde, no polinômio
, aqui
,
,
. Calculamos o discriminante:
A raiz quadrada do discriminante é
. Portanto as raízes são
Isso dá as duas raízes
Passo 6
Interpretar a desigualdade com base nas raízes: o polinômio
é uma parábola com coeficiente
, ou seja, volta para cima. Para uma parábola voltada para cima, a região onde
é o intervalo entre as raízes (incluindo-as). Portanto a solução da desigualdade é
Como verificação rápida: em
e
a emissão é exatamente
(pontos limite), para
entre esses valores a emissão é menor que
, e para
ou
a emissão é maior que
.
Passo 7
Interpretação final e observações práticas: para que a quantidade de
não ultrapasse
, deve-se trafegar com o carro a uma velocidade entre
e
, inclusive. Velocidades abaixo de
ou acima de
resultam em emissões superiores a
.