Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão é o quadrado da quantidade
. - Queremos todos os valores reais de
que tornam essa expressão estritamente positiva.
Passo 2
Entendendo a propriedade básica que vamos usar (aula rápida e bem prática). Para qualquer número real
vale:
ou seja, o quadrado de um real nunca é negativo. Além disso, a igualdade
ocorre se, e somente se,
.
Explicando em palavras: seja positivo, negativo ou zero. Se
então
. Se
então
e
. Se
então
. Pronto — essa é a peça-chave.
Explicando em palavras: seja
Passo 3
Aplique a propriedade ao nosso caso, tomando
. Então:
e a igualdade
ocorre exatamente quando
Passo 4
A desigualdade que queremos é estrita:
Pelo que vimos, o quadrado só deixa de ser positivo (ou seja, fica igual a zero) quando
. Para qualquer outro
real,
é diferente de zero e, portanto,
. Logo, a solução são todos os reais exceto
.
Passo 5
Checagem com exemplos simples (isso ajuda a fixar e é ótimo para prova):
- Se
, então que não satisfaz a desigualdade estrita. - Se
, então — satisfaz. - Se
, então — satisfaz.
Esses testes confirmam a conclusão: tododiferente de serve.
Passo 6
Escrevendo a solução de forma usual em intervalo e em conjunto:
- Conjunto:
. - Intervalo:
.