(UF-PA) A quantidade x de nicotina no sangue diminui com o tempo t de acordo com a função x=x_{0} e^{\frac{k t}{2}}. Se a quantidade inicial x_{0} se reduz à metade em 2 horas, em 5 horas existirá no sangue:
Considerar \sqrt{2}=1,41.
a) 17,4 \% de x_{0}.
b) 17,7 \% de x_{0}.
c) 20,0 \% de x_{0}.
d) 20,3 \% de x_{0}.

Passo 1

O enunciado dá a quantidade de nicotina x no sangue em função do tempo t:
x = x_{0} e^{\frac{k t}{2}}.
Informações fornecidas e o que se pede:
  • A quantidade inicial é x_{0}.
  • A quantidade é reduzida à metade em 2 horas; ou seja, x(2)=\dfrac{x_{0}}{2}.
  • Pede-se a fração (ou percentual) de x_{0} que permanece em t=5 horas.
  • Foi dado \sqrt{2}=1,41 para usar nas aproximações numéricas.

Passo 2

Determinar a constante k usando o fato de que em t=2 horas a quantidade vale metade de x_{0}. Substituindo t=2 e x(2)=\dfrac{x_{0}}{2} na fórmula:
\dfrac{x_{0}}{2} = x_{0} e^{\frac{k\cdot 2}{2}}.
Cancelar x_{0} (assumindo x_{0}\neq 0) e simplificar o expoente:
\dfrac{1}{2} = e^{k}.
Agora aplicamos o logaritmo natural (função inversa da exponencial) para isolar k. Lembrete rápido: o logaritmo natural \ln satisfaz \ln(e^{u})=u. Assim,
k = \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right).
Usando propriedade de logaritmos \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln 2, obtemos
k = -\ln 2.

Passo 3

Calcular x(5). Substituindo t=5 e k=-\ln 2 na fórmula original:
x(5) = x_{0} e^{\frac{k\cdot 5}{2}} = x_{0} e^{\frac{-\ln 2 \cdot 5}{2}}.
Usamos a propriedade e^{a\ln b} = b^{a}. Então
e^{\frac{-\ln 2 \cdot 5}{2}} = 2^{-\frac{5}{2}}.
Portanto
x(5) = x_{0}\,2^{-\frac{5}{2}}.

Passo 4

Simplificar 2^{-\frac{5}{2}}. Primeiro escrever em fatores mais simples:
2^{-\frac{5}{2}} = \dfrac{1}{2^{5/2}} = \dfrac{1}{2^{2}\,2^{1/2}} = \dfrac{1}{4\sqrt{2}}.
Logo a fração de x_{0} que permanece em 5 horas é
\dfrac{x(5)}{x_{0}} = \dfrac{1}{4\sqrt{2}}.

Passo 5

Fazer a aproximação numérica usando \sqrt{2}=1,41 (valor dado). Calculamos o denominador:
4\sqrt{2} = 4\times 1,41 = 5,64.
Logo
\dfrac{x(5)}{x_{0}} = \dfrac{1}{5,64}\approx 0,1773\ldots
Convertendo para porcentagem: 0,1773\ldots = 17,73\%, que arredondado conforme as alternativas corresponde a 17,7\%.

Passo 6

Interpretando a resposta em termos das alternativas fornecidas: a alternativa que corresponde a 17,7\% de x_{0} é a letra (b).

Resposta

b) 17,7\% de x_{0}.

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