(FEI-SP) A solução do sistema \left\{\begin{array}{l}x+y=\frac{4}{3} \\\\ 2 \log _{3} x-\log _{3} y=1\end{array}\right. é um par ( x, y ) tal que o produto x \cdot y vale:
a) 3
b) 4
c) \frac{3}{4}
d) -\frac{64}{3}

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x+y=\dfrac{4}{3}\\[6pt] 2\log_{3}x-\log_{3}y=1 \end{cases}
O que é pedido: encontrar o produto x\cdot y.
Informações relevantes fornecidas:
  • As duas equações acima (peguei os valores do enunciado).
  • Restrição natural das funções logaritmo: para \log_{3}x ser real é necessário x>0; para \log_{3}y ser real é necessário y>0.
    A resolução começa no próximo passo.]

Passo 2

Vamos usar propriedades básicas dos logaritmos (aquelas que sempre salvam no exame):
  • Multiplicação do argumento vira multiplicador: k\log_{a}u=\log_{a}\!\big(u^{k}\big). Aqui k é um número, a é a base do logaritmo e u>0 é o argumento.
  • Diferença de logs com mesma base vira log do quociente: \log_{a}u-\log_{a}v=\log_{a}\!\left(\dfrac{u}{v}\right), desde que u>0 e v>0.
Aplicando essas regras à segunda equação:
2\log_{3}x-\log_{3}y=\log_{3}\!\big(x^{2}\big)-\log_{3}y=\log_{3}\!\left(\dfrac{x^{2}}{y}\right).
Como a equação diz que isso é igual a 1, obtemos
\log_{3}\!\left(\dfrac{x^{2}}{y}\right)=1.
Converter logaritmo para exponencial: se \log_{3}A=1 então A=3^{1}=3. Logo
\dfrac{x^{2}}{y}=3 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=3y.

Passo 3

Agora usamos a primeira equação para eliminar y. Da equação x+y=\dfrac{4}{3} vem
y=\dfrac{4}{3}-x.
Substituindo em x^{2}=3y:
x^{2}=3\!\left(\dfrac{4}{3}-x\right)=4-3x.
Passando tudo para um lado:
x^{2}+3x-4=0.
Esta é uma equação quadrática. Vou fatorar (sempre que possível é a forma mais rápida): procuramos dois números cujo produto seja -4 e soma 3. Esses números são 4 e -1. Assim
x^{2}+3x-4=(x+4)(x-1)=0.
Então as raízes são
x=1 \quad\text{ou}\quad x=-4.

Passo 4

Lembrando da restrição do logaritmo: devemos ter x>0 e y>0. Portanto x=-4 não é admissível (não faz sentido \log_{3}(-4) no contexto real). Assim a única solução válida é x=1.
Com x=1, calculamos y pela primeira equação:
y=\dfrac{4}{3}-1=\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{3}=\dfrac{1}{3}.
Verificação rápida na segunda equação (só para confirmar): 2\log_{3}1-\log_{3}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=2\cdot 0 - (-1)=1, bate certinho.

Passo 5

Agora o produto:
x\cdot y = 1\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}.
Observação útil: a outra raiz algébrica x=-4 daria y=\dfrac{16}{3} e produto -\dfrac{64}{3}, que aparece como alternativa em algumas listas, mas é extraneous aqui porque viola o domínio dos logaritmos (não se pode usar x=-4 na equação original). Portanto a única solução válida do sistema real leva ao produto \dfrac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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