(FEI-SP) A solução do sistema \left\{\begin{array}{l}x+y=\frac{4}{3} \\\\ 2 \log _{3} x-\log _{3} y=1\end{array}\right. é um par ( x, y ) tal que o produto x \cdot y vale:
a) 3
b) 4
c) \frac{3}{4}
d) -\frac{64}{3}
As duas equações acima (peguei os valores do enunciado).
Restrição natural das funções logaritmo: para \log_{3}x ser real é necessário x>0; para \log_{3}y ser real é necessário y>0.
A resolução começa no próximo passo.]
Passo 2
Vamos usar propriedades básicas dos logaritmos (aquelas que sempre salvam no exame):
Multiplicação do argumento vira multiplicador: k\log_{a}u=\log_{a}\!\big(u^{k}\big). Aqui k é um número, a é a base do logaritmo e u>0 é o argumento.
Diferença de logs com mesma base vira log do quociente: \log_{a}u-\log_{a}v=\log_{a}\!\left(\dfrac{u}{v}\right), desde que u>0 e v>0.
Agora usamos a primeira equação para eliminar y. Da equação x+y=\dfrac{4}{3} vem
y=\dfrac{4}{3}-x.
Substituindo em x^{2}=3y:
x^{2}=3\!\left(\dfrac{4}{3}-x\right)=4-3x.
Passando tudo para um lado:
x^{2}+3x-4=0.
Esta é uma equação quadrática. Vou fatorar (sempre que possível é a forma mais rápida): procuramos dois números cujo produto seja -4 e soma 3. Esses números são 4 e -1. Assim
x^{2}+3x-4=(x+4)(x-1)=0.
Então as raízes são
x=1 \quad\text{ou}\quad x=-4.
Passo 4
Lembrando da restrição do logaritmo: devemos ter x>0 e y>0. Portanto x=-4 não é admissível (não faz sentido \log_{3}(-4) no contexto real). Assim a única solução válida é x=1.
Verificação rápida na segunda equação (só para confirmar): 2\log_{3}1-\log_{3}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=2\cdot 0 - (-1)=1, bate certinho.
Passo 5
Agora o produto:
x\cdot y = 1\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}.
Observação útil: a outra raiz algébrica x=-4 daria y=\dfrac{16}{3} e produto -\dfrac{64}{3}, que aparece como alternativa em algumas listas, mas é extraneous aqui porque viola o domínio dos logaritmos (não se pode usar x=-4 na equação original). Portanto a única solução válida do sistema real leva ao produto \dfrac{1}{3}.