A quantidade de óleo contida em cada lata fabricada por uma indústria tem peso distribuído normalmente, com média de 990 g e desvio padrão de 10 g . Uma lata é rejeitada no comércio se tiver peso menor que 976 g .
Se observarmos uma sequência casual destas latas em uma linha de produção, qual a probabilidade de que a décima lata observada seja a primeira rejeitada?

Passo 1

O enunciado diz que o peso X de cada lata é normalmente distribuído com média mu=990 g e desvio padrão sigma=10 g. Rejeita-se uma lata se X<976 g. Queremos a probabilidade de que a décima lata observada seja a primeira rejeitada. Para resolver, vamos (1) calcular a probabilidade p de rejeição de uma única lata usando a distribuição normal e (2) usar a distribuição geométrica para achar a chance de a primeira rejeição ocorrer no 10.º ensaio.

Passo 2

A chance de rejeitar uma lata é
p = P(X<976) = Pl(Z < 976-99010r) = P(Z< -1,4),
onde Zsim N(0,1). Pela tabela da normal padrão temos
P(Z< -1,4)=Phi(-1,4)=1-Phi(1,4)approx 1-0,9192=0,0808

Passo 3

Sejam “sucesso” as latas não rejeitadas (peso >=976 g) e “falha” as latas rejeitadas. O número de latas até a primeira falha segue a distribuição geométrica com parâmetro p. A probabilidade de a primeira rejeitada ocorrer exatamente na décima lata é
P(N=10) = (1-p)^9,p,
pois são 9 sucessos seguidos de 1 falha.

Passo 4

Substituindo p=0,0808:
1-p=0,9192, (1-p)^9=0,9192^9approx0,4680,
P(N=10)=0,4680times0,0808approx0,0378

Resposta

A probabilidade de a décima lata ser a primeira rejeitada é aproximadamente 0,0378.

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