A quantidade de óleo contida em cada lata fabricada por uma indústria tem peso distribuído normalmente, com média de 990 g e desvio padrão de 10 g . Uma lata é rejeitada no comércio se tiver peso menor que 976 g .
Se observarmos uma sequência casual destas latas em uma linha de produção, qual a probabilidade de que a décima lata observada seja a primeira rejeitada?
Se observarmos uma sequência casual destas latas em uma linha de produção, qual a probabilidade de que a décima lata observada seja a primeira rejeitada?
Passo 1
O enunciado diz que o peso
de cada lata é normalmente distribuído com média
g e desvio padrão
g. Rejeita-se uma lata se
g. Queremos a probabilidade de que a décima lata observada seja a primeira rejeitada. Para resolver, vamos (1) calcular a probabilidade
de rejeição de uma única lata usando a distribuição normal e (2) usar a distribuição geométrica para achar a chance de a primeira rejeição ocorrer no 10.º ensaio.
Passo 2
A chance de rejeitar uma lata é
onde
. Pela tabela da normal padrão temos
Passo 3
Sejam “sucesso” as latas não rejeitadas (peso
g) e “falha” as latas rejeitadas. O número de latas até a primeira falha segue a distribuição geométrica com parâmetro
. A probabilidade de a primeira rejeitada ocorrer exatamente na décima lata é
pois são 9 sucessos seguidos de 1 falha.
Passo 4
Substituindo
:
Resposta
A probabilidade de a décima lata ser a primeira rejeitada é aproximadamente
.