A quantidade x e o preço p de certo produto estão relacionados pela seguinte equação de demanda: x=750-5 p.
a) Determine a elasticidade de demanda em função do preço.
b) Calcule a elasticidade de demanda para um preço de \mathrm{R} \ 100,00 . Interprete, fornecendo o tipo de elasticidade que ocorrerá. c) Calcule a elasticidade de demanda para um preço de \(\mathrm{R} \\) 50,00. Interprete, fornecendo o tipo de elasticidade que ocorrerá.
Elasticidade de demanda é, aproximadamente, a variação percentual na demanda que corresponde à variação de 1% no preço do artigo ou produto, sendo dada por
E=\frac{p}{x} \cdot \frac{d x}{d p}
para determinado preço, a demanda é elástica se |E|>1, inelástica se |E|<1 e tem elasticidade unitária se |E|=1.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre quantidade demandada e preço:
x = 750 - 5p.
Pede-se:
  • (a) determinar a elasticidade de demanda em função do preço;
  • (b) calcular a elasticidade para o preço de \mathrm{R}\$\,100 e interpretar (tipo de elasticidade);
  • (c) calcular a elasticidade para o preço de \mathrm{R}\$\,50 e interpretar (tipo de elasticidade).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função demanda é \,x(p)=750-5p\,.
  • A fórmula da elasticidade que vamos usar é
E=\frac{p}{x}\cdot\frac{dx}{dp}.
Nada mais é fornecido; podemos trabalhar diretamente com a função dada.

Passo 2

Explicando o que é cada símbolo da fórmula e por que ela faz sentido (aula rápida e prática):
  • \,p\, é o preço (em reais).
  • \,x\, é a quantidade demandada correspondente ao preço p.
  • \dfrac{dx}{dp} é a derivada de x em relação a p: mede a variação instantânea (a inclinação) da demanda quando o preço muda. Em palavras: quanto a quantidade muda quando o preço aumenta um pouquinho.
  • A fórmula \,E=\dfrac{p}{x}\cdot\dfrac{dx}{dp}\, dá a elasticidade-preço da demanda: é a variação percentual aproximada na quantidade quando o preço varia 1\%. Por exemplo, se E=-2, um aumento de 1\% no preço reduz a demanda em cerca de 2\%.
Dica prática para prova: calcule primeiro \dfrac{dx}{dp}, depois substitua x e p na fórmula e simplifique; sempre verifique o domínio (aqui x>0 exige p<150).

Passo 3

Calcular a derivada \dfrac{dx}{dp} da função dada. Como \,x(p)=750-5p\,, a derivada é constante:
\frac{dx}{dp} = -5.
Interpretação: para cada aumento de 1 real no preço, a quantidade demandada diminui em 5 unidades.

Passo 4

Substituir \dfrac{dx}{dp}=-5 e x=750-5p na fórmula da elasticidade e simplificar passo a passo:
E(p)=\frac{p}{x}\cdot\frac{dx}{dp} =\frac{p}{750-5p}\cdot(-5).
Multiplicando:
E(p)=-\frac{5p}{750-5p}.
Fatorando 5 no denominador para simplificar:
750-5p=5(150-p),
logo
E(p)=-\frac{5p}{5(150-p)}=-\frac{p}{150-p}.
Portanto a elasticidade em função do preço é
E(p)=-\frac{p}{150-p}.
Observação sobre domínio: como x=750-5p>0, precisamos de p<150. Também nota-se que E(p)<0 para 0<p<150, o que reflete a lei da demanda (preço maior → quantidade menor).

Passo 5

Calcular \,E para \,p=\mathrm{R}\$\,100.
Substituindo na fórmula simplificada:
E(100)=-\frac{100}{150-100}=-\frac{100}{50}=-2.
Interpretação e classificação: |E(100)|=2>1, portanto a demanda é elástica nesse preço. Em linguagem prática: um aumento de 1\% no preço reduz a demanda aproximadamente em 2\%; um corte de 1\% no preço aumenta a demanda aproximadamente em 2\%.

Passo 6

Calcular \,E para \,p=\mathrm{R}\$\,50.
Substituindo:
E(50)=-\frac{50}{150-50}=-\frac{50}{100}=-0{,}5.
Interpretação e classificação: |E(50)|=0{,}5<1, portanto a demanda é inelástica nesse preço. Em termos práticos: um aumento de 1\% no preço reduz a demanda em cerca de 0{,}5\%; a variação percentual da demanda é menor que a variação percentual do preço.

Passo 7

Resumo de dicas rápidas para a prova (bem prático):
  • Sempre calcule \dfrac{dx}{dp} primeiro (é o “coeficiente angular” da demanda).
  • Substitua e simplifique; procurar fator comum (aqui 5) facilita.
  • Verifique o sinal e o módulo |E| para classificar (elástica se >1, inelástica se <1, unitária se =1).
  • Lembre que p deve estar no domínio (aqui p<150), caso contrário a quantidade seria zero ou negativa.

Resposta

(a) E(p)=-\dfrac{p}{150-p}
(b) E(100)=-2 — demanda elástica ( |E|>1)
(c) E(50)=-0{,}5 — demanda inelástica ( |E|<1)

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