A quantidade
e o preço
de certo produto estão relacionados pela seguinte equação de demanda:
.
a) Determine a elasticidade de demanda em função do preço.
b) Calcule a elasticidade de demanda para um preço de
100,00
. Interprete, fornecendo o tipo de elasticidade que ocorrerá.
Elasticidade de demanda é, aproximadamente, a variação percentual na demanda que corresponde à variação de 1% no preço do artigo ou produto, sendo dada por
para determinado preço, a demanda é elástica se
, inelástica se
e tem elasticidade unitária se
.
a) Determine a elasticidade de demanda em função do preço.
b) Calcule a elasticidade de demanda para um preço de
Passo 1
O enunciado dá a relação entre quantidade demandada e preço:
Pede-se:
- (a) determinar a elasticidade de demanda em função do preço;
- (b) calcular a elasticidade para o preço de
e interpretar (tipo de elasticidade); - (c) calcular a elasticidade para o preço de
e interpretar (tipo de elasticidade).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função demanda é
. - A fórmula da elasticidade que vamos usar é
Nada mais é fornecido; podemos trabalhar diretamente com a função dada.
Passo 2
Explicando o que é cada símbolo da fórmula e por que ela faz sentido (aula rápida e prática):
-
é o preço (em reais). -
é a quantidade demandada correspondente ao preço . -
é a derivada de em relação a : mede a variação instantânea (a inclinação) da demanda quando o preço muda. Em palavras: quanto a quantidade muda quando o preço aumenta um pouquinho. - A fórmula
dá a elasticidade-preço da demanda: é a variação percentual aproximada na quantidade quando o preço varia . Por exemplo, se , um aumento de no preço reduz a demanda em cerca de .
Dica prática para prova: calcule primeiro
, depois substitua
e
na fórmula e simplifique; sempre verifique o domínio (aqui
exige
).
Passo 3
Calcular a derivada
da função dada. Como
, a derivada é constante:
Interpretação: para cada aumento de
real no preço, a quantidade demandada diminui em
unidades.
Passo 4
Substituir
e
na fórmula da elasticidade e simplificar passo a passo:
Multiplicando:
Fatorando
no denominador para simplificar:
logo
Portanto a elasticidade em função do preço é
Observação sobre domínio: como
, precisamos de
. Também nota-se que
para
, o que reflete a lei da demanda (preço maior → quantidade menor).
Passo 5
Calcular
para
.
Substituindo na fórmula simplificada:
Substituindo na fórmula simplificada:
Interpretação e classificação:
, portanto a demanda é elástica nesse preço. Em linguagem prática: um aumento de
no preço reduz a demanda aproximadamente em
; um corte de
no preço aumenta a demanda aproximadamente em
.
Passo 6
Calcular
para
.
Substituindo:
Substituindo:
Interpretação e classificação:
, portanto a demanda é inelástica nesse preço. Em termos práticos: um aumento de
no preço reduz a demanda em cerca de
; a variação percentual da demanda é menor que a variação percentual do preço.
Passo 7
Resumo de dicas rápidas para a prova (bem prático):
- Sempre calcule
primeiro (é o “coeficiente angular” da demanda). - Substitua e simplifique; procurar fator comum (aqui 5) facilita.
- Verifique o sinal e o módulo
para classificar (elástica se , inelástica se , unitária se ). - Lembre que
deve estar no domínio (aqui ), caso contrário a quantidade seria zero ou negativa.
Resposta
(a)
(b)
— demanda elástica (
)
(c)
— demanda inelástica (
)