( \mathbf{1}, \mathbf{0} ) O custo por unidade de produção de um leitor de MP3 é \ 90 . O fabricante cobra$150 por unidade para encomendas de 100 unidades ou menos. Para incentivar grandes encomendas, no entanto, o fabricante reduz o custo em$ 0,10 por leitor a cada unidade que exceda 100 unidades. Por exemplo, uma encomenda de 101 leitores seria$149,90 por leitor, uma de 102 seria$ 149,80$ por leitor, e assim por diante. Encontre a maior encomenda que o fabricante deve permitir para obter um lucro máximo.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Custo por unidade (constante): c = \$90.
  • Preço por unidade cobrado pelo fabricante:
    • Para encomendas de até 100 unidades: p= \$150 por unidade.
    • Para encomendas acima de 100 unidades: o preço por unidade diminui em \$0{,}10 para cada unidade que excede 100. Exemplos dados no enunciado (peguei estes exemplos do enunciado):
      • Encomenda de 101 leitores \Rightarrow preço por unidade \$149{,}90.
      • Encomenda de 102 leitores \Rightarrow preço por unidade \$149{,}80.
  • O que se pede: determinar a maior encomenda que o fabricante deve permitir para obter o lucro máximo (ou seja, o tamanho de pedido que maximiza o lucro total do fabricante).

Passo 2

Definir variável e construir as expressões que usamos para lucro.
  • Seja q o número de leitores encomendados (unidades), com q inteiro e q\ge 0.
  • Receita total R(q) = q vezes o preço por unidade p(q).
  • Custo total C(q) = q vezes o custo por unidade c.
  • Lucro total \Pi(q) = R(q)-C(q)=q\big(p(q)-c\big).
Agora escrever a função preço p(q) explicitamente (pego a regra de redução do enunciado):
  • Para 0\le q\le 100: p(q)=\$150.
  • Para q>100: cada unidade acima de 100 reduz o preço em \$0{,}10, logo p(q)=\$150 - \$0{,}10\,(q-100).Simplificando: p(q)=\$160 - \$0{,}10\,q.

Passo 3

Lucro para q\le 100.
  • Para q\le 100 temos p(q)=\$150. Então \Pi(q)=q\big(\$150 - \$90\big)=q\cdot \$60=\$60\,q.
  • Essa expressão é linear crescente em q no intervalo [0,100], portanto, dentro desse intervalo o lucro é maior quanto maior o q. Logo o melhor dentro desse intervalo é na borda q=100, com lucro \Pi(100)=\$60\cdot 100=\$6000.

Passo 4

Lucro para q>100 — montar a função e analisar.
  • Para q>100 usamos p(q)=\$160 - \$0{,}10\,q. Então o lucro total é \Pi(q)=q\big(\$160 - \$0{,}10\,q - \$90\big)=q\big(\$70 - \$0{,}10\,q\big).
  • Expandindo: \Pi(q)=\$70\,q - \$0{,}10\,q^{2}.
  • Essa é uma parábola em q com coeficiente do termo quadrático negativo (abre para baixo), portanto tem um máximo em seu vértice. Para uma quadrática genérica a q^{2}+b q + c o vértice em q é dado por q^*=-\dfrac{b}{2a}.Aqui a = -\$0{,}10 e b=\$70. Aplicando: q^{*}=-\dfrac{\$70}{2\cdot(-\$0{,}10)}=-\dfrac{\$70}{-\$0{,}20}=\;350.
  • Observação: q^{*}=350 está no domínio q>100, portanto é um candidato válido para máximo global.
(Se preferir ver com cálculo diferencial rápido: \dfrac{d\Pi}{dq}=\$70 - \$0{,}20\,q. Igualando a zero dá q=\dfrac{\$70}{\$0{,}20}=350, mesma resposta.)

Passo 5

Verificar e comparar lucros para confirmar que q=350 dá o lucro máximo global.
  • Lucro em q=350: \Pi(350)=\$70\cdot350 - \$0{,}10\cdot350^{2}.Calcular passo a passo: \$70\cdot350=\$24\,500, \qquad \$0{,}10\cdot350^{2}=\$0{,}10\cdot122\,500=\$12\,250,então \Pi(350)=\$24\,500 - \$12\,250=\$12\,250.
  • Já tínhamos \Pi(100)=\$6\,000. Como \$12\,250>\$6\,000, o lucro em q=350 é maior que o melhor ponto do intervalo até 100.
  • Como a função lucro para q>100 é côncava para baixo, o ponto q=350 é o máximo global na região q>100. Para confirmar integridade (discreto), calcular valores vizinhos: \Pi(349)=\$12\,249{,}9,\qquad \Pi(350)=\$12\,250,\qquad \Pi(351)=\$12\,249{,}9,mostrando que q=350 é realmente o máximo inteiro também.

Passo 6

Interpretação final e nota prática.
  • O valor q=350 significa que, com a regra de desconto dada, o lucro total do fabricante é máximo quando são permitidos pedidos de até 350 unidades — se permitir pedidos maiores, o preço por unidade cai tanto que o lucro total diminui.
  • Para referência, o preço por unidade correspondente a q=350 é p(350)=\$160 - \$0{,}10\cdot350=\$125,e o lucro por unidade neste ponto é \$125-\$90=\$35, dando o lucro total \$35\cdot350=\$12\,250.

Resposta

350 unidades

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