(
) O custo por unidade de produção de um leitor de MP3 é
90
$150
$ 0,10
$149,90
$ 149,80$ por leitor, e assim por diante. Encontre a maior encomenda que o fabricante deve permitir para obter um lucro máximo.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- Custo por unidade (constante):
. - Preço por unidade cobrado pelo fabricante:
- Para encomendas de até
unidades: por unidade. - Para encomendas acima de
unidades: o preço por unidade diminui em para cada unidade que excede . Exemplos dados no enunciado (peguei estes exemplos do enunciado): - Encomenda de
leitores preço por unidade . - Encomenda de
leitores preço por unidade .
- Encomenda de
- Para encomendas de até
- O que se pede: determinar a maior encomenda que o fabricante deve permitir para obter o lucro máximo (ou seja, o tamanho de pedido que maximiza o lucro total do fabricante).
Passo 2
Definir variável e construir as expressões que usamos para lucro.
- Seja
o número de leitores encomendados (unidades), com inteiro e . - Receita total
= vezes o preço por unidade . - Custo total
= vezes o custo por unidade . - Lucro total
= .
Agora escrever a função preço
explicitamente (pego a regra de redução do enunciado):
- Para
: - Para
: cada unidade acima de reduz o preço em , logo Simplificando:
Passo 3
Lucro para
.
- Para
temos . Então - Essa expressão é linear crescente em
no intervalo , portanto, dentro desse intervalo o lucro é maior quanto maior o . Logo o melhor dentro desse intervalo é na borda , com lucro
Passo 4
Lucro para
— montar a função e analisar.
- Para
usamos . Então o lucro total é - Expandindo:
- Essa é uma parábola em
com coeficiente do termo quadrático negativo (abre para baixo), portanto tem um máximo em seu vértice. Para uma quadrática genérica o vértice em é dado por Aqui e . Aplicando: - Observação:
está no domínio , portanto é um candidato válido para máximo global.
(Se preferir ver com cálculo diferencial rápido:
. Igualando a zero dá
, mesma resposta.)
Passo 5
Verificar e comparar lucros para confirmar que
dá o lucro máximo global.
- Lucro em
: Calcular passo a passo: então - Já tínhamos
. Como , o lucro em é maior que o melhor ponto do intervalo até . - Como a função lucro para
é côncava para baixo, o ponto é o máximo global na região . Para confirmar integridade (discreto), calcular valores vizinhos: mostrando que é realmente o máximo inteiro também.
Passo 6
Interpretação final e nota prática.
- O valor
significa que, com a regra de desconto dada, o lucro total do fabricante é máximo quando são permitidos pedidos de até unidades — se permitir pedidos maiores, o preço por unidade cai tanto que o lucro total diminui. - Para referência, o preço por unidade correspondente a
é e o lucro por unidade neste ponto é , dando o lucro total .