Resolva as seguintes integrais utilizando a técnica de frações parciais:
\int \frac{d x}{x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}

Passo 1

Enunciado: calcular a integral
\int \frac{dx}{x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}.
O que a questão dá: o integrando é uma função racional com denominador x vezes o quadrado de um polinômio quadrático x^{2}-x+1.
O que pede: encontrar uma antiderivada explícita (a integral indefinida).
Dados relevantes listados: x aparece isolado no denominador e x^{2}-x+1 é um quadrático com discriminante negativo ( 1-4=-3), portanto irreducível sobre os reais; vamos, por isso, usar decomposição em frações parciais apropriada para fator linear vezes fator quadrático ao quadrado.

Passo 2

Montagem da decomposição em frações parciais. Como o denominador é x\,(x^{2}-x+1)^{2}, a forma geral da decomposição é
\frac{1}{x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}-x+1}+\frac{Dx+E}{\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}.
Isto é padrão: para fator linear \frac{A}{x}; para fator quadrático irreduzível de multiplicidade 1, um numerador linear \frac{Bx+C}{q}; para multiplicidade 2, aparece também \frac{Dx+E}{q^{2}}, onde q=x^{2}-x+1.

Passo 3

Elimine denominadores multiplicando ambos os lados por x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}. Chamando q=x^{2}-x+1, obtemos a identidade polinomial
1 = A q^{2} + (Bx+C)\,x\,q + (Dx+E)\,x.
Agora vamos expandir q e q^{2} para comparar coeficientes.

Passo 4

Calcule q e q^{2}. Temos
q=x^{2}-x+1
e
q^{2}=(x^{2}-x+1)^{2}=x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-2x+1.
Substituindo na identidade:
1 = A(x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-2x+1) + (Bx+C)(x^{3}-x^{2}+x) + (Dx+E)x.

Passo 5

Expanda os termos e junte coeficientes por potência de x. Expandindo (Bx+C)(x^{3}-x^{2}+x) obtemos
(Bx+C)(x^{3}-x^{2}+x)=B x^{4}+(-B+C)x^{3}+(B-C)x^{2}+C x.
E (Dx+E)x = D x^{2} + E x. Somando tudo:
1 = (A+B)x^{4} + (-2A -B + C)x^{3} + (3A + B - C + D)x^{2} + (-2A + C + E)x + A.

Passo 6

Comparando coeficientes com o polinômio constante 1\) (ou seja, coeficientes de \(x^{4},x^{3},x^{2},x\) são zero e constante é 1), obtemos o sistema \[\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] -2A - B + C = 0,\\[4pt] 3A + B - C + D = 0,\\[4pt] -2A + C + E = 0,\\[4pt] A = 1. \end{cases}
Da última equação (A=1]. Substituindo progressivamente:
B = -A = -1,
-2\cdot1 -(-1) + C = 0 \implies -2 +1 + C=0 \implies C=1,
3\cdot1 + (-1) -1 + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D=-1,
-2\cdot1 + 1 + E =0 \implies -1 + E =0 \implies E=1.]

Passo 7

Portanto a decomposição fica (substituindo A,B,C,D,E):
\frac{1}{x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}=\frac{1}{x}+\frac{-x+1}{x^{2}-x+1}+\frac{-x+1}{\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}.
Logo a integral original se separa em três integrais mais simples:
\int \frac{dx}{x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}} = \int \frac{dx}{x} + \int \frac{-x+1}{x^{2}-x+1}\,dx + \int \frac{-x+1}{(x^{2}-x+1)^{2}}\,dx.

Passo 8

Integramos a primeira parcela imediatamente:
\int \frac{dx}{x} = \ln|x|.
Vai aparecer essa parte na antiderivada final.

Passo 9

Agora trate a segunda parcela
I_{1}=\int \frac{-x+1}{x^{2}-x+1}\,dx.
Técnica útil: escrevemos o numerador como combinação da derivada do denominador mais uma constante, porque \frac{q'}{q} integra para \ln q. Note que q'=2x-1. Buscamos constantes \alpha,\beta tais que
-x+1 = \alpha (2x-1) + \beta.
Comparando coeficientes: 2\alpha = -1 \implies \alpha = -\tfrac{1}{2}. E -\alpha + \beta = 1 \implies \beta = \tfrac{1}{2}. Logo
-x+1 = -\tfrac{1}{2}q' + \tfrac{1}{2}.
Substituindo em I_{1}:
I_{1} = -\tfrac{1}{2}\int \frac{q'}{q}\,dx + \tfrac{1}{2}\int \frac{dx}{q}.
A primeira integral dá -\tfrac{1}{2}\ln q. A segunda é do tipo \int \frac{dx}{(x-a)^{2}+b^{2}}, que resulta em arco-tangente. Observando que
q = x^{2}-x+1 = \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2} + \tfrac{3}{4},
definimos t = x-\tfrac{1}{2} e b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
\int \frac{dx}{q} = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right).
Portanto
I_{1} = -\tfrac{1}{2}\ln\big(x^{2}-x+1\big) + \tfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 10

Agora a terceira parcela:
I_{2}=\int \frac{-x+1}{(x^{2}-x+1)^{2}}\,dx.
Usamos novamente a escrita do numerador como combinação de q' e constante:
-x+1 = -\tfrac{1}{2}q' + \tfrac{1}{2}.
Logo
I_{2} = -\tfrac{1}{2}\int \frac{q'}{q^{2}}\,dx + \tfrac{1}{2}\int \frac{dx}{q^{2}}.
A primeira integral é direta com substituição u=q: \int \frac{q'}{q^{2}}\,dx = \int \frac{du}{u^{2}} = -\frac{1}{u}. Assim
-\tfrac{1}{2}\int \frac{q'}{q^{2}}\,dx = -\tfrac{1}{2}\left(-\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{2q}.

Passo 11

Falta calcular \displaystyle \int \frac{dx}{q^{2}}=\int \frac{dx}{\big((x-\tfrac{1}{2})^{2}+(\tfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}\big)^{2}}. Seja t=x-\tfrac{1}{2} e b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Temos a integral padrão
\int \frac{dt}{(t^{2}+b^{2})^{2}} = \frac{t}{2b^{2}(t^{2}+b^{2})} + \frac{1}{2b^{3}}\arctan\!\left(\frac{t}{b}\right) + C.
(Verificação rápida: derivando o lado direito obtém-se \frac{1}{(t^{2}+b^{2})^{2}}.) Substituindo b^{2}=\tfrac{3}{4} e b^{3}=\tfrac{3\sqrt{3}}{8}, e voltando para x, obtemos
\int \frac{dx}{q^{2}} = \frac{2}{3}\cdot\frac{x-\tfrac{1}{2}}{q} + \frac{4}{3\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 12

Agora volte a I_{2}. Tínhamos I_{2}=\dfrac{1}{2q} + \dfrac{1}{2}\displaystyle\int\frac{dx}{q^{2}}. Substituindo o resultado do Passo 11:
I_{2} = \frac{1}{2q} + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{x-\tfrac{1}{2}}{q} + \frac{4}{3\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)\right).
Simplificando:
I_{2} = \frac{1}{2q} + \frac{1}{3}\cdot\frac{x-\tfrac{1}{2}}{q} + \frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right).
Juntando os termos racionais sobre q:
\frac{1}{2q} + \frac{1}{3}\cdot\frac{x-\tfrac{1}{2}}{q} = \frac{x+1}{3q}.
Portanto
I_{2} = \frac{x+1}{3\big(x^{2}-x+1\big)} + \frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 13

Some todas as parcelas: integral original I = \ln|x| + I_{1} + I_{2}. Substituindo I_{1} e I_{2}:
I = \ln|x| \;-\; \tfrac{1}{2}\ln\big(x^{2}-x+1\big) \;+\; \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) \;+\; \frac{x+1}{3\big(x^{2}-x+1\big)} \;+\; \frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + C.
Combine os termos em arco-tangente:
\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{5}{3\sqrt{3}}.
Assim a antiderivada final é
I = \ln|x| - \tfrac{1}{2}\ln\big(x^{2}-x+1\big) + \frac{5}{3\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + \frac{x+1}{3\big(x^{2}-x+1\big)} + C.

Resposta

\ln|x| - \tfrac{1}{2}\ln\big(x^{2}-x+1\big) + \frac{5}{3\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + \frac{x+1}{3\big(x^{2}-x+1\big)} + C

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