Resolva as seguintes integrais utilizando a técnica de frações parciais:
Passo 1
Enunciado: calcular a integral
O que a questão dá: o integrando é uma função racional com denominador
vezes o quadrado de um polinômio quadrático
.
O que pede: encontrar uma antiderivada explícita (a integral indefinida).
Dados relevantes listados: aparece isolado no denominador e
é um quadrático com discriminante negativo (
), portanto irreducível sobre os reais; vamos, por isso, usar decomposição em frações parciais apropriada para fator linear vezes fator quadrático ao quadrado.
O que pede: encontrar uma antiderivada explícita (a integral indefinida).
Dados relevantes listados:
Passo 2
Montagem da decomposição em frações parciais. Como o denominador é
, a forma geral da decomposição é
Isto é padrão: para fator linear
; para fator quadrático irreduzível de multiplicidade 1, um numerador linear
; para multiplicidade 2, aparece também
, onde
.
Passo 3
Elimine denominadores multiplicando ambos os lados por
. Chamando
, obtemos a identidade polinomial
Agora vamos expandir
e
para comparar coeficientes.
Passo 4
Calcule
e
. Temos
e
Substituindo na identidade:
Passo 5
Expanda os termos e junte coeficientes por potência de
. Expandindo
obtemos
E
. Somando tudo:
Passo 6
Comparando coeficientes com o polinômio constante
Da última equação (A=1]. Substituindo progressivamente:
Passo 7
Portanto a decomposição fica (substituindo
):
Logo a integral original se separa em três integrais mais simples:
Passo 8
Integramos a primeira parcela imediatamente:
Vai aparecer essa parte na antiderivada final.
Passo 9
Agora trate a segunda parcela
Técnica útil: escrevemos o numerador como combinação da derivada do denominador mais uma constante, porque
integra para
. Note que
. Buscamos constantes
tais que
Comparando coeficientes:
. E
. Logo
Substituindo em
:
A primeira integral dá
. A segunda é do tipo
, que resulta em arco-tangente. Observando que
definimos
e
. Então
Portanto
Passo 10
Agora a terceira parcela:
Usamos novamente a escrita do numerador como combinação de
e constante:
Logo
A primeira integral é direta com substituição
:
. Assim
Passo 11
Falta calcular
. Seja
e
. Temos a integral padrão
(Verificação rápida: derivando o lado direito obtém-se
.) Substituindo
e
, e voltando para
, obtemos
Passo 12
Agora volte a
. Tínhamos
. Substituindo o resultado do Passo 11:
Simplificando:
Juntando os termos racionais sobre
:
Portanto
Passo 13
Some todas as parcelas: integral original
. Substituindo
e
:
Combine os termos em arco-tangente:
Assim a antiderivada final é