Resolva as seguintes integrais utilizando a técnica de frações parciais:
\int \frac{\left(x^{2}+1\right)}{x^{4}-7 x^{3}+18 x^{2}-20 x+8} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral
\int \frac{\left(x^{2}+1\right)}{x^{4}-7 x^{3}+18 x^{2}-20 x+8}\,dx.
Informações dadas importantes:
  • O numerador é \left(x^{2}+1\right).
  • O denominador é o polinômio x^{4}-7 x^{3}+18 x^{2}-20 x+8.
  • A técnica exigida é frações parciais, logo eu devo decompor a função racional em frações simples cuja antiderivada seja conhecida.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador para identificar os fatores lineares e repetidos que determinam a forma da decomposição em frações parciais. Testo raízes racionais simples: para x=1,
1-7+18-20+8=0,
portanto x=1 é raiz. Faço divisão sintética (ou divisão polinomial) de x^{4}-7x^{3}+18x^{2}-20x+8 por (x-1); os coeficientes 1,-7,18,-20,8 dão quociente x^{3}-6x^{2}+12x-8. Observando,
x^{3}-6x^{2}+12x-8=(x-2)^3.
Logo o denominador fatora como
x^{4}-7 x^{3}+18 x^{2}-20 x+8=(x-1)(x-2)^3.

Passo 3

Com a fatoração obtida, a forma geral da decomposição em frações parciais (para fator linear simples (x-1) e fator linear repetido (x-2)^3) é
\frac{x^{2}+1}{(x-1)(x-2)^3}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}+\frac{D}{(x-2)^3},
onde A,B,C,D são constantes reais a determinar. Explico rapidamente: para cada potência k do fator (x-2)^k precisamos de termos até k na decomposição, com potências decrescentes no denominador.

Passo 4

Multiplico ambos os lados da identidade por (x-1)(x-2)^3 para obter uma igualdade de polinômios:
x^{2}+1 = A(x-2)^3 + B(x-1)(x-2)^2 + C(x-1)(x-2) + D(x-1).

Passo 5

Uso valores de x que anulem fatores para obter constantes rapidamente.
  • Para x=1:
1^2+1=2 = A(1-2)^3 = A(-1)^3 = -A \quad\Rightarrow\quad A=-2.
  • Para x=2:
2^2+1=5 = D(2-1)=D \quad\Rightarrow\quad D=5.

Passo 6

Agora preciso de B e C. Vou comparar coeficientes dos polinômios. Primeiro exponho as expansões (mostrando passo a passo):
Calculo (x-2)^2 = x^2-4x+4 e (x-2)^3 = x^3-6x^2+12x-8.
Então
A(x-2)^3 = A(x^3-6x^2+12x-8),
B(x-1)(x-2)^2 = B(x^3-5x^2+8x-4) \quad\text{(pois \((x-1)(x^2-4x+4)=x^3-5x^2+8x-4\))},
C(x-1)(x-2) = C(x^2-3x+2),
D(x-1)=Dx - D.
Somando tudo, o polinômio do lado direito tem coeficientes para x^3,x^2,x,1 dados por:
  • coeficiente de x^3: A + B,
  • coeficiente de x^2: -6A -5B + C,
  • coeficiente de x: 12A + 8B -3C + D,
  • termo constante: -8A -4B +2C - D.
No lado esquerdo temos x^{2}+1, ou seja coeficientes 0 para x^3, 1 para x^2, 0 para x e 1 para a constante. Assim obtemos o sistema:
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] -6A -5B + C = 1,\\[4pt] 12A + 8B -3C + D = 0,\\[4pt] -8A -4B +2C - D = 1. \end{cases}]

Passo 7

Substituo A=-2 e D=5 nas equações:
Da primeira equação A+B=0 vem
B=-A=-(-2)=2.
Na segunda equação substituo A e B:
-6(-2) -5(2) + C = 1 \quad\Rightarrow\quad 12 -10 + C = 1 \quad\Rightarrow\quad C = -1.
Verifico as outras duas equações para consistência:
  • terceira: 12A+8B-3C+D = 12(-2)+8(2)-3(-1)+5 = -24+16+3+5=0 OK.
  • quarta: -8A-4B+2C-D = -8(-2)-4(2)+2(-1)-5 = 16-8-2-5=1 OK.
Portanto as constantes são
A=-2,\quad B=2,\quad C=-1,\quad D=5.

Passo 8

Escrevo a decomposição final e preparo para integrar termo a termo:
\frac{x^{2}+1}{(x-1)(x-2)^3} = -\frac{2}{x-1} + \frac{2}{x-2} -\frac{1}{(x-2)^2} + \frac{5}{(x-2)^3}.
Integro cada parcela:
  • Para \displaystyle \int -\frac{2}{x-1}\,dx, uso \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|. Assim
\int -\frac{2}{x-1}\,dx = -2\ln|x-1|.
  • Para \displaystyle \int \frac{2}{x-2}\,dx,
\int \frac{2}{x-2}\,dx = 2\ln|x-2|.
  • Para \displaystyle \int -\frac{1}{(x-2)^2}\,dx, vejo que é -\int (x-2)^{-2}dx. Uso a regra de potências \int (x-a)^n dx = \frac{(x-a)^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Com n=-2:
\int (x-2)^{-2}dx = \frac{(x-2)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x-2}.
Multiplicando pelo sinal:
\int -\frac{1}{(x-2)^2}dx = -\left(-\frac{1}{x-2}\right) = \frac{1}{x-2}.
  • Para \displaystyle \int \frac{5}{(x-2)^3}\,dx, com n=-3 temos
\int (x-2)^{-3}dx = \frac{(x-2)^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2(x-2)^2}.
Multiplicando por 5:
\int \frac{5}{(x-2)^3}dx = 5\left(-\frac{1}{2(x-2)^2}\right) = -\frac{5}{2(x-2)^2}.

Passo 9

Somando todas as partes e adicionando a constante C, a primitiva fica
-2\ln|x-1| + 2\ln|x-2| + \frac{1}{x-2} - \frac{5}{2(x-2)^2} + C.

Resposta

-2\ln|x-1|+2\ln|x-2|+\frac{1}{x-2}-\frac{5}{2(x-2)^2}+C

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