O denominador é o polinômio x^{4}-7 x^{3}+18 x^{2}-20 x+8.
A técnica exigida é frações parciais, logo eu devo decompor a função racional em frações simples cuja antiderivada seja conhecida.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador para identificar os fatores lineares e repetidos que determinam a forma da decomposição em frações parciais. Testo raízes racionais simples: para x=1,
1-7+18-20+8=0,
portanto x=1 é raiz. Faço divisão sintética (ou divisão polinomial) de x^{4}-7x^{3}+18x^{2}-20x+8 por (x-1); os coeficientes 1,-7,18,-20,8 dão quociente x^{3}-6x^{2}+12x-8. Observando,
x^{3}-6x^{2}+12x-8=(x-2)^3.
Logo o denominador fatora como
x^{4}-7 x^{3}+18 x^{2}-20 x+8=(x-1)(x-2)^3.
Passo 3
Com a fatoração obtida, a forma geral da decomposição em frações parciais (para fator linear simples (x-1) e fator linear repetido (x-2)^3) é
onde A,B,C,D são constantes reais a determinar. Explico rapidamente: para cada potência k do fator (x-2)^k precisamos de termos até k na decomposição, com potências decrescentes no denominador.
Passo 4
Multiplico ambos os lados da identidade por (x-1)(x-2)^3 para obter uma igualdade de polinômios:
Para \displaystyle \int -\frac{2}{x-1}\,dx, uso \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|. Assim
\int -\frac{2}{x-1}\,dx = -2\ln|x-1|.
Para \displaystyle \int \frac{2}{x-2}\,dx,
\int \frac{2}{x-2}\,dx = 2\ln|x-2|.
Para \displaystyle \int -\frac{1}{(x-2)^2}\,dx, vejo que é -\int (x-2)^{-2}dx. Uso a regra de potências \int (x-a)^n dx = \frac{(x-a)^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Com n=-2: