Seja \boldsymbol{X} \sim \boldsymbol{N}(5 ; 4). Encontre o valor de k tal que
P(\mathbf{X}<\mathbf{k})=0,05

Passo 1

O enunciado dá que \boldsymbol{X}\sim\boldsymbol{N}(5;4) e pede encontrar k tal que
P(\mathbf{X}<\mathbf{k})=0,05.
Informações relevantes dadas:
  • A média de \mathbf{X} é \mu=5 (peguei isso do enunciado).
  • A variância de \mathbf{X} é \sigma^{2}=4 (peguei isso do enunciado), portanto o desvio padrão é \sigma=2.
  • Queremos o valor k tal que a probabilidade de \mathbf{X} ser menor que k é 0,05.

Passo 2

Conceito importante (passo-a-passo do que usaremos): se \mathbf{X} tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma, podemos transformar \mathbf{X} na variável normal padrão \mathbf{Z}\sim N(0,1) usando a padronização
\mathbf{Z}=\frac{\mathbf{X}-\mu}{\sigma}.
Aqui \mathbf{Z} mede “quantos desvios-padrão” um valor de \mathbf{X} está longe da média. Essa transformação é essencial porque tabelas e calculadoras geralmente dão probabilidades/quantis para a normal padrão.

Passo 3

Aplicando a padronização ao evento \mathbf{X}<\mathbf{k}:
P(\mathbf{X}<\mathbf{k})=P\!\left(\frac{\mathbf{X}-\mu}{\sigma}<\frac{k-\mu}{\sigma}\right)=P\!\left(\mathbf{Z}<\frac{k-5}{2}\right).
Pelo enunciado queremos que essa probabilidade seja 0,05, então
P\!\left(\mathbf{Z}<\frac{k-5}{2}\right)=0,05.
Isso significa que \dfrac{k-5}{2} é o quantil de ordem 0,05 da normal padrão, normalmente denotado por z_{0,05}. Logo
\frac{k-5}{2}=z_{0,05}\quad\Rightarrow\quad k=5+2\,z_{0,05}.

Passo 4

Como encontrar z_{0,05}? Pela simetria da normal padrão temos z_{0,05}=-z_{0,95}. Tabelas ou calculadora nos dão que o quantil de 0,95 é aproximadamente 1,645. Portanto
z_{0,05}\approx-1,645.
(Se quiser mais precisão, z_{0,05}\approx-1,6448536, mas para a prova normalmente usar -1,645 é suficiente.)

Passo 5

Substituindo em k=5+2\,z_{0,05}:
k=5+2\cdot(-1,645)=5-3,290=1,710.
Fazendo com a precisão maior: k=5+2\cdot(-1,6448536)\approx1,7102928. Arredondando de forma usual, k\approx1,71.

Passo 6

Interpretação e dica de prova: esse k é o valor abaixo do qual caem 5\% das observações da normal N(5,4). Em provas sem calculadora você busca o valor -1,645 na tabela da normal padrão e faz a multiplicação por \sigma (aqui 2) e soma a \mu (aqui 5). Respira fundo — esse é o procedimento padrão e dá para aplicar rápido.

Resposta

k\approx1,71

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