(Quantidade de Subconjuntos) Quantos subconjuntos possui o conjunto
?
Passo 1
O enunciado pede quantos subconjuntos tem o conjunto M = {1,2,3,…,10}.
Conteúdo: combinatória básica.
O que vamos usar:
Conteúdo: combinatória básica.
O que vamos usar:
- Definição de subconjunto;
- Princípio multiplicativo (cada elemento gera 2 escolhas: entra ou não entra);
- (Opcional) Identidade da soma de binomiais via Binômio de Newton.
Passo 2
Vamos pensar: um subconjunto de M é qualquer seleção de alguns (ou nenhum) dos 10 elementos.
Para cada elemento i ∈ M temos duas possibilidades:
Para cada elemento i ∈ M temos duas possibilidades:
- i está no subconjunto
- i não está no subconjunto
Como as decisões são independentes, multiplicamos as possibilidades:
2 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ 2 (10 vezes) = 2^{10}.
Isso vem direto do princípio multiplicativo: se são n etapas e cada etapa tem a_i opções, o total é o produto a_1·a_2·…·a_n.
Passo 3
(Quem curte ver a prova “oficial” usa combinação e soma de binomiais:)
- O número de subconjuntos com exatamente k elementos é
. - Somando para k de 0 a 10:
pela fórmula do Binômio de Newton. Então dá de novo
.
Resposta
O conjunto M tem
subconjuntos.