(Quantidade de Subconjuntos) Quantos subconjuntos possui o conjunto M=1,2,3, ldots, 10?

Passo 1

O enunciado pede quantos subconjuntos tem o conjunto M = {1,2,3,…,10}.
Conteúdo: combinatória básica.
O que vamos usar:
  • Definição de subconjunto;
  • Princípio multiplicativo (cada elemento gera 2 escolhas: entra ou não entra);
  • (Opcional) Identidade da soma de binomiais via Binômio de Newton.

Passo 2

Vamos pensar: um subconjunto de M é qualquer seleção de alguns (ou nenhum) dos 10 elementos.
Para cada elemento i ∈ M temos duas possibilidades:
  1. i está no subconjunto
  2. i não está no subconjunto
    Como as decisões são independentes, multiplicamos as possibilidades:
    2 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ 2 (10 vezes) = 2^{10}.
    Isso vem direto do princípio multiplicativo: se são n etapas e cada etapa tem a_i opções, o total é o produto a_1·a_2·…·a_n.

Passo 3

(Quem curte ver a prova “oficial” usa combinação e soma de binomiais:)
  • O número de subconjuntos com exatamente k elementos é sumk=0^10binom10k ;=;(1+1)^10 .
  • Somando para k de 0 a 10:
pela fórmula do Binômio de Newton. Então dá de novo .

Resposta

O conjunto M tem subconjuntos.

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