Ache a quantidade de números de quatro dígitos tais que toda sequência de três algarismos consecutivos é formada por elementos distintos.
Passo 1
Beleza, o problema pede: “Quantos números de quatro dígitos (de 1000 a 9999) têm a propriedade de que em qualquer trecho de três dígitos consecutivos todos são diferentes?”
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Princípio fundamental da contagem (ou princípio multiplicativo)
- Noções de “escolha sequencial” e “sem repetição”
Passo 2
Primeiro a gente escolhe o primeiro dígito (vamos chamar de A). Como é um número de quatro dígitos, A não pode ser zero.
- Possibilidades para A: {1,2,…,9} → 9 opções.
Isso garante que o número seja pelo menos 1000.
Passo 3
Agora escolhemos o segundo dígito, B. Aqui vale:
- B pode ser 0 a 9, mas não pode repetir A (para que A, B, C depois fiquem distintos).
Logo, para B temos 10 dígitos totais menos o A já usado → 9 opções.
Passo 4
Escolhemos o terceiro dígito, C. A condição “A, B, C todos diferentes” nos obriga a não usar A nem B.
- Dígitos possíveis = 10 totais – 2 já usados = 8 opções.
Passo 5
Falta o quarto dígito, D. A restrição agora é “B, C, D todos diferentes”.
- D não pode ser igual a B nem a C, mas até pode ser igual a A (não há condição envolvendo A e D).
- Então opções para D = 10 totais – 2 proibidos = 8 opções.
Passo 6
Pelo princípio multiplicativo, o total de números que satisfazem tudo é o produto das opções em cada escolha:
Resposta
5184 números.