Ache a quantidade de números de quatro dígitos tais que toda sequência de três algarismos consecutivos é formada por elementos distintos.

Passo 1

Beleza, o problema pede: “Quantos números de quatro dígitos (de 1000 a 9999) têm a propriedade de que em qualquer trecho de três dígitos consecutivos todos são diferentes?”
Conteúdo que vamos usar:
  • Princípio fundamental da contagem (ou princípio multiplicativo)
  • Noções de “escolha sequencial” e “sem repetição”

Passo 2

Primeiro a gente escolhe o primeiro dígito (vamos chamar de A). Como é um número de quatro dígitos, A não pode ser zero.
  • Possibilidades para A: {1,2,…,9} → 9 opções.
Isso garante que o número seja pelo menos 1000.

Passo 3

Agora escolhemos o segundo dígito, B. Aqui vale:
  • B pode ser 0 a 9, mas não pode repetir A (para que A, B, C depois fiquem distintos).
    Logo, para B temos 10 dígitos totais menos o A já usado → 9 opções.

Passo 4

Escolhemos o terceiro dígito, C. A condição “A, B, C todos diferentes” nos obriga a não usar A nem B.
  • Dígitos possíveis = 10 totais – 2 já usados = 8 opções.

Passo 5

Falta o quarto dígito, D. A restrição agora é “B, C, D todos diferentes”.
  • D não pode ser igual a B nem a C, mas até pode ser igual a A (não há condição envolvendo A e D).
  • Então opções para D = 10 totais – 2 proibidos = 8 opções.

Passo 6

Pelo princípio multiplicativo, o total de números que satisfazem tudo é o produto das opções em cada escolha:
9 times 9 times 8 times 8 = 5184

Resposta

5184 números.

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