A quantidade de urânio de uma formação argilosa possui média igual a 95 u.m. e desvio padrão igual a 7.5 u.m. Sabendo-se que Y (quantidade de urânio numa amostra aleatória dessa formação) é uma variável aleatória com distribuição Normal, ache a quantidade b tal que:
P(Y<b)=0.9750

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um valor b tal que a probabilidade de uma amostra aleatória Y ser menor que b seja 0,9750. As informações dadas são:
\mu = 95\\ \text{u.m.}
\sigma = 7,5\\ \text{u.m.}
Y \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)
e queremos P(Y<b)=0,9750.

Passo 2

Ideia geral (sem ainda calcular): para variáveis normais usamos a padronização para transformar Y numa Normal padrão Z com média 0 e desvio padrão 1. A fórmula de padronização é
Z = \frac{Y-\mu}{\sigma}.
Aqui Z é a variável Normal padrão, Y é a variável original, \mu é a média de Y e \sigma é o desvio padrão de Y. Padronizar serve para usar tabelas ou a função inversa da Normal padrão para encontrar quantis.

Passo 3

Aplicando a padronização à probabilidade pedida:
P(Y<b)=P\!\left(\frac{Y-\mu}{\sigma}<\frac{b-\mu}{\sigma}\right)=P\!\left(Z<\frac{b-\mu}{\sigma}\right)=0,9750.
Portanto precisamos encontrar z_{0,975} tal que P(Z<z_{0,975})=0,9750. Usando tabela da Normal padrão ou a função inversa (quantil), sabemos que
z_{0,975}\approx 1,9599\\ (\text{aproximadamente }1,96),
pois P(Z<1,96)\approx 0,9750. Esse número é o ponto abaixo do qual ficam 97,50\% das observações da Normal padrão.

Passo 4

Agora isolamos b. Da relação \dfrac{b-\mu}{\sigma}=z_{0,975} obtemos
b=\mu+z_{0,975}\,\sigma.
Substituindo os valores ( \mu=95, \sigma=7,5, z_{0,975}\approx 1,96):
b=95 + 1,96\cdot 7,5.
Calcule passo a passo:
1,96\cdot 7,5 = 14,7,
b = 95 + 14,7 = 109,7.
Se usar a aproximação mais precisa z_{0,975}\approx 1,9599 b\approx 109,69925, que arredondado com duas casas decimais é 109,70.

Passo 5

Interpretação final rápida: o valor b\approx 109,70\\ \text{u.m.} é tal que 97,5\% das amostras dessa formação terão quantidade de urânio menor que b. Você pode usar a mesma técnica para qualquer outro quantil: padroniza, encontra o z correspondente e volta para a escala original com b=\mu+z\sigma. Força — você já domina o método!

Resposta

b \approx 109,70\\ \text{u.m.}

Exercícios relacionados