A quantidade de urânio de uma formação argilosa possui média igual a 95 u.m. e desvio padrão igual a 7.5 u.m. Sabendo-se que Y (quantidade de urânio numa amostra aleatória dessa formação) é uma variável aleatória com distribuição Normal, ache a quantidade b tal que:
P(Y>b)=0.2611

Passo 1

O enunciado pede: achar o valor b tal que P(Y>b)=0,2611, onde temos as seguintes informações:
  • A variável aleatória Y representa a quantidade de urânio numa amostra e é distribuída como Normal.
  • A média é \mu=95 u.m.
  • O desvio padrão é \sigma=7,5 u.m.
    Então, o objetivo explícito é encontrar b que satisfaça P(Y>b)=0,2611.

Passo 2

Primeiro passo lógico: transformar a probabilidade em uma probabilidade acumulada (à esquerda), porque as tabelas e a função inversa da Normal padrão costumam dar P(Y\le x). Usamos a relação complementar:
P(Y>b)=0,2611 \quad\Longrightarrow\quad P(Y\le b)=1-0,2611=0,7389.

Passo 3

Agora vamos padronizar a variável Normal para trabalhar com a Normal padrão. A padronização é a transformação
Z=\frac{Y-\mu}{\sigma},
onde Z segue a distribuição Normal padrão N(0,1) (média 0 e desvio padrão 1). Aqui:
  • Y é a variável original (quantidade de urânio),
  • \mu é a média ( 95),
  • \sigma é o desvio padrão ( 7,5),
  • Z é a versão sem unidade e com média zero.

Passo 4

Aplicando a padronização à probabilidade acumulada que encontramos:
P(Y\le b)=P\!\left(Z\le \frac{b-\mu}{\sigma}\right)=0,7389.
Denotando z^\star=\dfrac{b-\mu}{\sigma}, temos a equação
\Phi(z^\star)=0,7389,
onde \Phi é a função distribuição acumulada da Normal padrão.

Passo 5

Precisamos achar z^\star=\Phi^{-1}(0,7389). Consultando uma tabela da Normal padrão ou usando uma calculadora estatística, encontramos
\Phi(0,64)=0,7389.
Portanto z^\star=0,64.

Passo 6

Voltamos à relação entre b e z^\star:
z^\star=\frac{b-\mu}{\sigma}\quad\Longrightarrow\quad b=\mu+z^\star\cdot\sigma.
Substituindo os valores:
b=95 + 0,64\cdot 7,5.
Calculando o produto 0,64\cdot 7,5: note que 0,64=\tfrac{64}{100}, então
0,64\cdot 7,5 = \frac{64}{100}\cdot 7,5 = \frac{64\cdot 7,5}{100}=\frac{480}{100}=4,8.
Logo
b=95+4,8=99,8\\ \text{u.m.}

Passo 7

Verificação rápida para ficar tranquilo: padrão z=(99,8-95)/7,5=4,8/7,5=0,64. Então P(Y>b)=1-\Phi(0,64)=1-0,7389=0,2611, que bate certinho com o enunciado.

Resposta

99,8\\ \text{u.m.}

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