A quantidade de urânio de uma formação argilosa possui média igual a 95 u.m. e desvio padrão igual a 7.5 u.m. Sabendo-se que Y (quantidade de urânio numa amostra aleatória dessa formação) é uma variável aleatória com distribuição Normal, ache a quantidade b tal que:
Passo 1
O enunciado pede: achar o valor
tal que
, onde temos as seguintes informações:
- A variável aleatória
representa a quantidade de urânio numa amostra e é distribuída como Normal. - A média é
u.m. - O desvio padrão é
u.m.
Então, o objetivo explícito é encontrarque satisfaça .
Passo 2
Primeiro passo lógico: transformar a probabilidade em uma probabilidade acumulada (à esquerda), porque as tabelas e a função inversa da Normal padrão costumam dar
. Usamos a relação complementar:
Passo 3
Agora vamos padronizar a variável Normal para trabalhar com a Normal padrão. A padronização é a transformação
onde
segue a distribuição Normal padrão
(média
e desvio padrão
). Aqui:
-
é a variável original (quantidade de urânio), -
é a média ( ), -
é o desvio padrão ( ), -
é a versão sem unidade e com média zero.
Passo 4
Aplicando a padronização à probabilidade acumulada que encontramos:
Denotando
, temos a equação
onde
é a função distribuição acumulada da Normal padrão.
Passo 5
Precisamos achar
. Consultando uma tabela da Normal padrão ou usando uma calculadora estatística, encontramos
Portanto
.
Passo 6
Voltamos à relação entre
e
:
Substituindo os valores:
Calculando o produto
: note que
, então
Logo
Passo 7
Verificação rápida para ficar tranquilo: padrão
. Então
, que bate certinho com o enunciado.