A vida média de um teodolito é de 3 anos com desvio padrão de 0.61 . Supondo que a vida útil dos teodolitos siga uma distribuição Normal, é razoável um prazo de garantia de 2.5 anos para este aparelho?
Passo 1
O enunciado dá as informações e faz a pergunta abaixo:
- Vida média dos teodolitos:
anos. - Desvio padrão:
anos. - Supõe-se que a vida útil segue uma distribuição Normal.
- Pergunta: é razoável um prazo de garantia de
anos para este aparelho?
Lista das informações relevantes extraídas do enunciado:
- Temos uma variável aleatória
(vida útil) com . - Os valores numéricos fornecidos são
e . - O prazo de garantia a avaliar é
anos.
Passo 2
Estratégia para responder à pergunta (explicação do que vamos calcular):
- Para saber se
anos é um prazo “razoável”, calculamos a probabilidade de um aparelho falhar antes desse prazo, ou seja . - Se essa probabilidade for alta, a garantia de
anos imporá muitos custos ao fabricante (muitas reclamações/substituições). Se for baixa, o prazo é confortável para o fabricante e generoso para o cliente. - Não existe um número universal que defina “razoável”; vou calcular a probabilidade e dar interpretação: por exemplo, se a probabilidade for perto de
é considerada alta para muitas empresas; se for é normalmente baixa.
Passo 3
Como transformar o problema para a Normal padrão (aula curtinha):
- Quando
é normal com média e desvio padrão , definimos a variável padronizada
onde
segue a Normal padrão
.
- Aqui,
é o valor médio (centro) da distribuição e mede a dispersão (quanto os valores se espalham). - A ideia: calcular
é equivalente a calcular . Depois consultamos uma tabela da Normal padrão ou usamos a simetria dessa distribuição.
Passo 4
Cálculo do escore Z para
anos:
Arredondando para duas casas decimais (como costuma-se fazer em tabelas):
.
Passo 5
Obter a probabilidade a partir da Normal padrão (como ler a tabela):
- Queremos
. - Usando a simetria da Normal padrão,
, onde é a função de distribuição da Normal padrão. - Consultando uma tabela da Normal padrão ou uma calculadora, encontramos
- Portanto
Isto é, aproximadamente
dos aparelhos falharão antes de
anos. (Também podemos escrever
.)
Passo 6
Interpretação do resultado e resposta à pergunta com pros e contras (explicação para decisão):
- Resultado numérico: cerca de
de probabilidade de falha antes de anos, e assim cerca de dos aparelhos duram mais que anos. - Se você for o fabricante: ter
de aparelhos sendo cobertos pela garantia é um custo potencialmente grande — muitas empresas buscam taxas de reclamação muito menores (por exemplo ou menos) para um prazo de garantia. Nesse sentido, um prazo de anos pode não ser “razoável” se o objetivo for minimizar custos com garantias. - Se você for o cliente: a garantia de
anos é generosa, porque cerca de em aparelhos vão durar além disso; ainda assim em pode falhar dentro da garantia (bom para o cliente). - Conclusão prática: o valor numérico permite tomar decisão. Se a empresa aceita até
de custo em garantias, então o prazo é aceitável; se a tolerância máxima for, por exemplo, , então não é aceitável.
Passo 7
Resumo final e recomendação concreta:
- Probabilidade calculada:
( ). - Recomenda-se que o fabricante avalie sua política de custos: para muitas empresas essa taxa é alta, logo o prazo de garantia de
anos provavelmente não é razoável do ponto de vista financeiro; para vendas e confiança ao cliente pode ser uma oferta atraente.
Resposta
Não —
(aproximadamente
de probabilidade de falha antes de
anos), o que geralmente é alto para uma garantia do ponto de vista do fabricante.