A vida média de um teodolito é de 3 anos com desvio padrão de 0.61 . Supondo que a vida útil dos teodolitos siga uma distribuição Normal, é razoável um prazo de garantia de 2.5 anos para este aparelho?

Passo 1

O enunciado dá as informações e faz a pergunta abaixo:
  • Vida média dos teodolitos: \mu = 3 anos.
  • Desvio padrão: \sigma = 0{,}61 anos.
  • Supõe-se que a vida útil segue uma distribuição Normal.
  • Pergunta: é razoável um prazo de garantia de 2{,}5 anos para este aparelho?
Lista das informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Temos uma variável aleatória X (vida útil) com X \sim N(\mu,\sigma^2).
  • Os valores numéricos fornecidos são \mu=3 e \sigma=0{,}61.
  • O prazo de garantia a avaliar é 2{,}5 anos.

Passo 2

Estratégia para responder à pergunta (explicação do que vamos calcular):
  • Para saber se 2{,}5 anos é um prazo “razoável”, calculamos a probabilidade de um aparelho falhar antes desse prazo, ou seja \Pr(X<2{,}5).
  • Se essa probabilidade for alta, a garantia de 2{,}5 anos imporá muitos custos ao fabricante (muitas reclamações/substituições). Se for baixa, o prazo é confortável para o fabricante e generoso para o cliente.
  • Não existe um número universal que defina “razoável”; vou calcular a probabilidade e dar interpretação: por exemplo, se a probabilidade for perto de 20\% é considerada alta para muitas empresas; se for 5\% é normalmente baixa.

Passo 3

Como transformar o problema para a Normal padrão (aula curtinha):
  • Quando X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z segue a Normal padrão N(0,1).
  • Aqui, \mu é o valor médio (centro) da distribuição e \sigma mede a dispersão (quanto os valores se espalham).
  • A ideia: calcular \Pr(X<2{,}5) é equivalente a calcular \Pr\!\left(Z<\dfrac{2{,}5-\mu}{\sigma}\right). Depois consultamos uma tabela da Normal padrão ou usamos a simetria dessa distribuição.

Passo 4

Cálculo do escore Z para 2{,}5 anos:
z=\frac{2{,}5-3}{0{,}61}=\frac{-0{,}5}{0{,}61}\approx -0{,}819672\dots
Arredondando para duas casas decimais (como costuma-se fazer em tabelas): z\approx -0{,}82.

Passo 5

Obter a probabilidade a partir da Normal padrão (como ler a tabela):
  • Queremos \Pr(X<2{,}5)=\Pr(Z<-0{,}82).
  • Usando a simetria da Normal padrão, \Pr(Z<-0{,}82)=\Pr(Z>0{,}82)=1-\Phi(0{,}82), onde \Phi é a função de distribuição da Normal padrão.
  • Consultando uma tabela da Normal padrão ou uma calculadora, encontramos
\Phi(0{,}82)\approx 0{,}7939.
  • Portanto
\Pr(X<2{,}5)=1-0{,}7939=0{,}2061.
Isto é, aproximadamente 20{,}61\% dos aparelhos falharão antes de 2{,}5 anos. (Também podemos escrever \Pr(X<2{,}5)\approx 0{,}206.)

Passo 6

Interpretação do resultado e resposta à pergunta com pros e contras (explicação para decisão):
  • Resultado numérico: cerca de 20{,}6\% de probabilidade de falha antes de 2{,}5 anos, e assim cerca de 79{,}4\% dos aparelhos duram mais que 2{,}5 anos.
  • Se você for o fabricante: ter \approx 20\% de aparelhos sendo cobertos pela garantia é um custo potencialmente grande — muitas empresas buscam taxas de reclamação muito menores (por exemplo 5\% ou menos) para um prazo de garantia. Nesse sentido, um prazo de 2{,}5 anos pode não ser “razoável” se o objetivo for minimizar custos com garantias.
  • Se você for o cliente: a garantia de 2{,}5 anos é generosa, porque cerca de 4 em 5 aparelhos vão durar além disso; ainda assim 1 em 5 pode falhar dentro da garantia (bom para o cliente).
  • Conclusão prática: o valor numérico permite tomar decisão. Se a empresa aceita até 20\% de custo em garantias, então o prazo é aceitável; se a tolerância máxima for, por exemplo, 10\%, então não é aceitável.

Passo 7

Resumo final e recomendação concreta:
  • Probabilidade calculada: \Pr(X<2{,}5)\approx 0{,}206 ( 20{,}6\%).
  • Recomenda-se que o fabricante avalie sua política de custos: para muitas empresas essa taxa é alta, logo o prazo de garantia de 2{,}5 anos provavelmente não é razoável do ponto de vista financeiro; para vendas e confiança ao cliente pode ser uma oferta atraente.

Resposta

Não — \Pr(X<2{,}5)\approx 0{,}206 (aproximadamente 20{,}6\% de probabilidade de falha antes de 2{,}5 anos), o que geralmente é alto para uma garantia do ponto de vista do fabricante.

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