O tempo de espera para cada cliente que entra na fila do caixa de uma loja, segue uma distribuição de probabilidade exponencial com taxa igual a 0.2 por minuto. Calcule:
a) o tempo médio de espera e o desvio padrão do tempo de espera;
b) a probabilidade de um cliente selecionado ao acaso, ficar até 20 minutos na fila;
c) e a probabilidade dele ficar na fila mais tempo que a média.
a) o tempo médio de espera e o desvio padrão do tempo de espera;
b) a probabilidade de um cliente selecionado ao acaso, ficar até 20 minutos na fila;
c) e a probabilidade dele ficar na fila mais tempo que a média.
Passo 1
O enunciado diz que o tempo de espera de cada cliente segue uma distribuição exponencial com taxa igual a
por minuto. As perguntas são:
(a) calcular o tempo médio de espera e o desvio padrão do tempo de espera;
(b) calcular a probabilidade de um cliente selecionado ao acaso ficar até minutos na fila;
(c) calcular a probabilidade de o cliente ficar na fila mais tempo que a média.
(a) calcular o tempo médio de espera e o desvio padrão do tempo de espera;
(b) calcular a probabilidade de um cliente selecionado ao acaso ficar até
(c) calcular a probabilidade de o cliente ficar na fila mais tempo que a média.
Informações relevantes dadas:
- Taxa da exponencial:
. - Queremos média, desvio padrão, e probabilidades envolvendo tempos
e média.
Passo 2
O que é a distribuição exponencial e suas fórmulas básicas (aula rápida, sem pânico):
- A função densidade de probabilidade (pdf) da exponencial é
onde
é a taxa (número de eventos por unidade de tempo). Aqui
mede a “velocidade” com que o evento (saída da fila) acontece.
- A função de distribuição acumulada (CDF) é
- A função sobrevivência (probabilidade de durar mais que
) é
Essas fórmulas vêm da integração da pdf; eu vou usar
e
direto nas contas.
Passo 3
Cálculo da média
e do desvio padrão
(com explicação passo a passo):
- A média de uma exponencial é dada por
Fazendo integração por partes: tome
e
. Então
e
. Assim
O primeiro termo vale
porque
quando
, e é
em
. O segundo termo é
Logo
- A segunda momento
pode ser obtido por integração (ou fórmula conhecida); o resultado é
Então a variância é
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Observação intuitiva: para a exponencial média e desvio padrão são iguais, ambos iguais a
.
Passo 4
Aplicando os resultados com
:
- Média:
- Desvio padrão:
Comentário amigo: ou seja, o tempo médio de espera é
minutos e a dispersão característica (desvio padrão) também é
minutos — para exponencial isso é normal.
Passo 5
Probabilidade de ficar até
minutos (item b):
Usamos a CDF:
Usamos a CDF:
Valor numérico aproximado (usando a aproximação
):
Interpretação: é muito provável que um cliente espere menos de
minutos (cerca de
).
Passo 6
Probabilidade de ficar mais tempo que a média (item c):
- A média já é
minutos. Então queremos
Valor numérico aproximado (usando
):
Comentário didático: isso também ilustra a propriedade “memoryless” da exponencial — mas aqui só calculamos a probabilidade de ultrapassar a média; para a exponencial essa probabilidade é sempre
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)