O tempo de espera para cada cliente que entra na fila do caixa de uma loja, segue uma distribuição de probabilidade exponencial com taxa igual a 0.2 por minuto. Calcule:
a) o tempo médio de espera e o desvio padrão do tempo de espera;
b) a probabilidade de um cliente selecionado ao acaso, ficar até 20 minutos na fila;
c) e a probabilidade dele ficar na fila mais tempo que a média.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de espera de cada cliente segue uma distribuição exponencial com taxa igual a 0,2 por minuto. As perguntas são:
(a) calcular o tempo médio de espera e o desvio padrão do tempo de espera;
(b) calcular a probabilidade de um cliente selecionado ao acaso ficar até 20 minutos na fila;
(c) calcular a probabilidade de o cliente ficar na fila mais tempo que a média.
Informações relevantes dadas:
  • Taxa da exponencial: \lambda = 0,2\\ \text{min}^{-1}.
  • Queremos média, desvio padrão, e probabilidades envolvendo tempos t=20 e t= média.

Passo 2

O que é a distribuição exponencial e suas fórmulas básicas (aula rápida, sem pânico):
  • A função densidade de probabilidade (pdf) da exponencial é
f(t)=\lambda e^{-\lambda t},\quad t\ge 0,
onde \lambda é a taxa (número de eventos por unidade de tempo). Aqui \lambda mede a “velocidade” com que o evento (saída da fila) acontece.
  • A função de distribuição acumulada (CDF) é
F(t)=P(T\le t)=1-e^{-\lambda t}.
  • A função sobrevivência (probabilidade de durar mais que t) é
P(T>t)=e^{-\lambda t}.
Essas fórmulas vêm da integração da pdf; eu vou usar F e P(T>t) direto nas contas.

Passo 3

Cálculo da média E[T] e do desvio padrão \sigma_T (com explicação passo a passo):
  • A média de uma exponencial é dada por
E[T]=\int_{0}^{\infty} t\,\lambda e^{-\lambda t}\,dt.
Fazendo integração por partes: tome u=t e dv=\lambda e^{-\lambda t}dt. Então du=dt e v=-e^{-\lambda t}. Assim
\int_{0}^{\infty} t\,\lambda e^{-\lambda t}\,dt = \big[-t e^{-\lambda t}\big]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}\,dt.
O primeiro termo vale 0 porque t e^{-\lambda t}\to 0 quando t\to\infty, e é 0 em t=0. O segundo termo é
\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}\,dt = \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda t}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{\lambda}.
Logo
E[T]=\frac{1}{\lambda}.
  • A segunda momento E[T^{2}] pode ser obtido por integração (ou fórmula conhecida); o resultado é
E[T^{2}]=\frac{2}{\lambda^{2}}.
Então a variância é
\operatorname{Var}(T)=E[T^{2}]-\big(E[T]\big)^{2}=\frac{2}{\lambda^{2}}-\frac{1}{\lambda^{2}}=\frac{1}{\lambda^{2}}.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_T=\sqrt{\operatorname{Var}(T)}=\frac{1}{\lambda}.
Observação intuitiva: para a exponencial média e desvio padrão são iguais, ambos iguais a 1/\lambda.

Passo 4

Aplicando os resultados com \lambda=0,2\\ \text{min}^{-1}:
  • Média:
E[T]=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{0,2}=5\\ \text{min}.
  • Desvio padrão:
\sigma_T=\frac{1}{\lambda}=5\\ \text{min}.
Comentário amigo: ou seja, o tempo médio de espera é 5 minutos e a dispersão característica (desvio padrão) também é 5 minutos — para exponencial isso é normal.

Passo 5

Probabilidade de ficar até 20 minutos (item b):
Usamos a CDF:
P(T\le 20)=1-e^{-\lambda\cdot 20}=1-e^{-0,2\cdot 20}=1-e^{-4}.
Valor numérico aproximado (usando a aproximação e^{-4}\approx 0,0183156):
P(T\le 20)=1-e^{-4}\approx 0,9816844.
Interpretação: é muito provável que um cliente espere menos de 20 minutos (cerca de 98{,}17\%).

Passo 6

Probabilidade de ficar mais tempo que a média (item c):
  • A média já é 5 minutos. Então queremos
P(T>5)=e^{-\lambda\cdot 5}=e^{-0,2\cdot 5}=e^{-1}.
Valor numérico aproximado (usando e^{-1}\approx 0,3678794):
P(T>5)=e^{-1}\approx 0,3678794.
Comentário didático: isso também ilustra a propriedade “memoryless” da exponencial — mas aqui só calculamos a probabilidade de ultrapassar a média; para a exponencial essa probabilidade é sempre e^{-1}\approx 0,3679.

Resposta

(a) E[T]=5\\ \text{min},\\ \sigma_T=5\\ \text{min}
(b) P(T\le 20)=1-e^{-4}\approx 0,9817
(c) P(T>5)=e^{-1}\approx 0,3679

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