Quanto dinheiro Carol deve depositar anualmente com início daqui a um ano, à taxa de
a.a., a fim de acumular
6.000$ daqui a sete anos?
Passo 1
O enunciado pede: quanto Carol deve depositar anualmente (pagamentos iguais no final de cada ano, com o primeiro depósito daqui a um ano) para que, à taxa de
a.a., o saldo acumulado daqui a sete anos seja
.
Informações dadas:
- Taxa de juros anual:
. - Número de anos (número de depósitos):
(um depósito por ano, começando em e o último em ). - Valor futuro desejado:
. - Valor do depósito anual (valor repetido) é incógnita: denotaremos por
. - Os depósitos são feitos no final de cada período (anuidade ordinária).
Passo 2
Ideia de cálculo (explicação conceitual, passo a passo): cada depósito
feito no final do ano
(com
) acumula juros até o final do ano 7.
- O depósito feito em
fica até sem crescer (multiplica por ). - O depósito feito em
cresce por 1 ano até (multiplica por ). - O depósito feito em
cresce por anos até (multiplica por ).
Portanto o valor futuro
é a soma geométrica:
Note que são
termos nessa soma.
Passo 3
Derivação da fórmula da soma geométrica (aqui transformamos a soma acima numa expressão fechada). Seja
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora subtraímos
de
:
No lado esquerdo,
. Então
Isolando
(que é
):
Essa é a fórmula do valor futuro de uma anuidade ordinária com
pagamentos.
Passo 4
Agora isolamos
para encontrar o depósito anual necessário:
Substituímos
e
.
Passo 5
Calculemos
passo a passo (para você poder fazer a conta na prova sem calculator, vou mostrar multiplicações sucessivas):
Logo
Passo 6
Calculemos
substituindo os valores:
O numerador é
Portanto
Fazendo a divisão (aproximação numérica com arredondamento a centavos):
Para checar rapidamente: o fator
. Multiplicando
por esse fator dá aproximadamente
, ou seja, está correto dentro do arredondamento.
Passo 7
Resumo motivador: você pode usar sempre a fórmula derivada se cair questão parecida na prova. Lembre-se: para anuidade ordinária (pagamentos no final do período)
e aí isola
. Dá para fazer as potências passo a passo como mostrei se não puder usar calculadora.