Quanto dinheiro Carol deve depositar anualmente com início daqui a um ano, à taxa de 5 \% a.a., a fim de acumular \ 6.000$ daqui a sete anos?

Passo 1

O enunciado pede: quanto Carol deve depositar anualmente (pagamentos iguais no final de cada ano, com o primeiro depósito daqui a um ano) para que, à taxa de 5\% a.a., o saldo acumulado daqui a sete anos seja \$6.000.
Informações dadas:
  • Taxa de juros anual: i = 0{,}05.
  • Número de anos (número de depósitos): n = 7 (um depósito por ano, começando em t=1 e o último em t=7).
  • Valor futuro desejado: \text{FV} = \$6.000.
  • Valor do depósito anual (valor repetido) é incógnita: denotaremos por R.
  • Os depósitos são feitos no final de cada período (anuidade ordinária).

Passo 2

Ideia de cálculo (explicação conceitual, passo a passo): cada depósito R feito no final do ano k (com k=1,2,\dots,7) acumula juros até o final do ano 7.
  • O depósito feito em t=7 fica até t=7 sem crescer (multiplica por (1+i)^0).
  • O depósito feito em t=6 cresce por 1 ano até t=7 (multiplica por (1+i)^1).
  • O depósito feito em t=1 cresce por 6 anos até t=7 (multiplica por (1+i)^6).
Portanto o valor futuro \text{FV} é a soma geométrica:
\text{FV} = R(1+i)^{6} + R(1+i)^{5} + \cdots + R(1+i)^{1} + R.
Note que são n=7 termos nessa soma.

Passo 3

Derivação da fórmula da soma geométrica (aqui transformamos a soma acima numa expressão fechada). Seja
S = R\big((1+i)^{6} + (1+i)^{5} + \cdots + (1+i) + 1\big).
Multiplicando ambos os lados por (1+i) obtemos
(1+i)S = R\big((1+i)^{7} + (1+i)^{6} + \cdots + (1+i)^{2} + (1+i)\big).
Agora subtraímos S de (1+i)S:
(1+i)S - S = R\big((1+i)^{7} - 1\big).
No lado esquerdo, (1+i)S - S = iS. Então
iS = R\big((1+i)^{7} - 1\big).
Isolando S (que é \text{FV}):
\text{FV} = S = R\cdot\frac{(1+i)^{7} - 1}{i}.
Essa é a fórmula do valor futuro de uma anuidade ordinária com n=7 pagamentos.

Passo 4

Agora isolamos R para encontrar o depósito anual necessário:
R = \text{FV}\cdot\frac{i}{(1+i)^{7} - 1}.
Substituímos \text{FV}=\$6.000 e i=0{,}05.

Passo 5

Calculemos (1+i)^{7} = (1{,}05)^{7} passo a passo (para você poder fazer a conta na prova sem calculator, vou mostrar multiplicações sucessivas):
(1{,}05)^{2} = 1{,}1025
(1{,}05)^{3} = 1{,}1025\times1{,}05 = 1{,}157625
(1{,}05)^{4} = 1{,}157625\times1{,}05 = 1{,}21550625
(1{,}05)^{5} = 1{,}21550625\times1{,}05 = 1{,}2762815625
(1{,}05)^{6} = 1{,}2762815625\times1{,}05 = 1{,}340095640625
(1{,}05)^{7} = 1{,}340095640625\times1{,}05 = 1{,}40710042265625
Logo
(1+i)^{7} - 1 = 1{,}40710042265625 - 1 = 0{,}40710042265625.

Passo 6

Calculemos R substituindo os valores:
R = 6.000 \times \frac{0{,}05}{0{,}40710042265625}.
O numerador é
6.000\times0{,}05 = 300.
Portanto
R = \frac{300}{0{,}40710042265625}.
Fazendo a divisão (aproximação numérica com arredondamento a centavos):
R \approx 736{,}92.
Para checar rapidamente: o fator \dfrac{(1+i)^{7}-1}{i} = \dfrac{0{,}40710042265625}{0{,}05} \approx 8{,}142008453125. Multiplicando R por esse fator dá aproximadamente 736{,}92\times8{,}142008453125 \approx 6.000, ou seja, está correto dentro do arredondamento.

Passo 7

Resumo motivador: você pode usar sempre a fórmula derivada se cair questão parecida na prova. Lembre-se: para anuidade ordinária (pagamentos no final do período)
\text{FV} = R\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i},
e aí isola R. Dá para fazer as potências passo a passo como mostrei se não puder usar calculadora.

Resposta

\$736,92

Exercícios relacionados