Uma empresa X tem importantes instalações em outros países e seu presidente precisa saber qual é o valor futuro equivalente de um investimento financeiro de um milhão de reais, no final de cada ano, durante oito anos, a partir de hoje. O capital da empresa produz rendimentos à taxa de 14 \% a.a.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Valor de cada aplicação (depósito) anual: \;1{.}000{.}000 reais (um milhão de reais).
  • Frequência: uma aplicação ao final de cada ano, durante \;8 anos.
  • Taxa de juros: \;14\% ao ano, ou seja \;i=0{,}14.
  • Pedido: calcular o valor futuro equivalente dessas aplicações no final do oitavo ano (ou seja, o montante acumulado em t=8).
Observação (importante): vou interpretar o enunciado como uma anuidade ordinária — isto é, os depósitos ocorrem ao final de cada período e o primeiro depósito acontece ao final do primeiro ano. Se você quisesse o caso em que o primeiro depósito ocorre hoje (início do período), o cálculo muda (anuidade devida); eu comento isso no final.

Passo 2

Conceito básico que usamos: valor futuro de uma soma de depósitos iguais (anuidade).
  • A ideia de “valor futuro” é somar quanto cada depósito valerá no tempo final após ter rendido juros por certo número de anos.
  • Se um único depósito P é feito e fica investido por t anos a juros anuais compostos i, seu valor futuro é
P(1+i)^t.
Aqui P é o valor do depósito, i a taxa anual em forma decimal, e t o número de anos de capitalização.

Passo 3

Agora, para uma anuidade ordinária (depósitos iguais R ao final de cada ano, durante n anos), o valor futuro no final do n-ésimo ano é a soma dos valores futuros de cada depósito. Escrevendo essa soma:
  • O depósito do final do primeiro ano (tempo t=1) vai render por n-1 anos até t=n e valerá R(1+i)^{\,n-1}.
  • O depósito do final do segundo ano valerá R(1+i)^{\,n-2} em t=n.
  • O depósito do final do n-ésimo ano valerá R(1+i)^{\,0}=R.
Portanto o montante (valor futuro) é
FV = R\bigl[(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\cdots+(1+i)+1\bigr].
Essa soma é uma série geométrica finita com razão (1+i). A soma de uma geométrica finita a^{0}+a^{1}+\cdots+a^{n-1} é \dfrac{a^{n}-1}{a-1}. Aplicando com a=1+i obtemos a fórmula padrão:
FV = R\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i}.
Explicando as variáveis:
  • R = valor de cada depósito (aqui \;1{.}000{.}000).
  • i = taxa de juros anual em decimal (aqui \;0{,}14).
  • n = número de depósitos/períodos (aqui \;8).
  • FV = valor futuro no final do n-ésimo ano.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com os valores do enunciado:
R = 1{.}000{.}000,\qquad i = 0{,}14,\qquad n = 8.
A fórmula:
FV = 1{.}000{.}000\cdot\frac{(1+0{,}14)^{8}-1}{0{,}14}.
Precisamos calcular (1{,}14)^{8}. Fazemos passo a passo:
  • (1{,}14)^{2} = 1{,}14^{2} = 1{,}2996.
  • (1{,}14)^{4} = (1{,}2996)^{2} = 1{,}68896016. (multiplicação direta)
  • (1{,}14)^{8} = (1{,}68896016)^{2} \approx 2{,}852594878 (ao elevar ao quadrado obtivemos aproximadamente esse valor).

Passo 5

Continuando o cálculo do fator da fórmula:
(1{,}14)^{8}-1 \approx 2{,}852594878 - 1 = 1{,}852594878.
Dividindo pelo juro \;i=0{,}14:
\frac{(1{,}14)^{8}-1}{0{,}14} \approx \frac{1{,}852594878}{0{,}14} \approx 13{,}232820556.
Esse número é o fator de acumulação da anuidade: cada R$1 aplicado ao final de cada ano, ao final de 8 anos, resulta em aproximadamente R$13,232820556.

Passo 6

Multiplicando pelo valor do depósito \;R=1{.}000{.}000:
FV \approx 1{.}000{.}000 \times 13{,}232820556 = 13{.}232{.}820{,}556.
Arredondando para centavos, o montante é aproximadamente \;13{.}232{.}820,56 reais.
Interpretação: aplicar R$1.000.000 ao final de cada ano durante 8 anos a 14% a.a. gera cerca de R$13,23 milhões ao final do 8º ano.

Passo 7

Comentário extra (útil para prova): se os depósitos ocorressem no início de cada período (anuidade devida, primeiro depósito em t=0), então o valor futuro no final de t=8 seria o caso ordinário multiplicado por (1+i). Numericamente seria
FV_{\text{devida}} = FV_{\text{ordinária}}\times(1+0{,}14)\approx 13{.}232{.}820{,}556\times1{,}14\approx 15{.}085{.}415{,}43.á
Ou seja, pagar um período antes aumenta o montante final porque cada depósito rende um período a mais.

Resposta

\text{R\$ }13{.}232{.}820{,}56

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