Uma empresa X tem importantes instalações em outros países e seu presidente precisa saber qual é o valor futuro equivalente de um investimento financeiro de um milhão de reais, no final de cada ano, durante oito anos, a partir de hoje. O capital da empresa produz rendimentos à taxa de
a.a.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Valor de cada aplicação (depósito) anual:
reais (um milhão de reais). - Frequência: uma aplicação ao final de cada ano, durante
anos. - Taxa de juros:
ao ano, ou seja . - Pedido: calcular o valor futuro equivalente dessas aplicações no final do oitavo ano (ou seja, o montante acumulado em
).
Observação (importante): vou interpretar o enunciado como uma anuidade ordinária — isto é, os depósitos ocorrem ao final de cada período e o primeiro depósito acontece ao final do primeiro ano. Se você quisesse o caso em que o primeiro depósito ocorre hoje (início do período), o cálculo muda (anuidade devida); eu comento isso no final.
Passo 2
Conceito básico que usamos: valor futuro de uma soma de depósitos iguais (anuidade).
- A ideia de “valor futuro” é somar quanto cada depósito valerá no tempo final após ter rendido juros por certo número de anos.
- Se um único depósito
é feito e fica investido por anos a juros anuais compostos , seu valor futuro é
Aqui
é o valor do depósito,
a taxa anual em forma decimal, e
o número de anos de capitalização.
Passo 3
Agora, para uma anuidade ordinária (depósitos iguais
ao final de cada ano, durante
anos), o valor futuro no final do
-ésimo ano é a soma dos valores futuros de cada depósito. Escrevendo essa soma:
- O depósito do final do primeiro ano (tempo
) vai render por anos até e valerá . - O depósito do final do segundo ano valerá
em . - …
- O depósito do final do
-ésimo ano valerá .
Portanto o montante (valor futuro) é
Essa soma é uma série geométrica finita com razão
. A soma de uma geométrica finita
é
. Aplicando com
obtemos a fórmula padrão:
Explicando as variáveis:
-
= valor de cada depósito (aqui ). -
= taxa de juros anual em decimal (aqui ). -
= número de depósitos/períodos (aqui ). -
= valor futuro no final do -ésimo ano.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula com os valores do enunciado:
A fórmula:
Precisamos calcular
. Fazemos passo a passo:
-
-
(multiplicação direta) -
(ao elevar ao quadrado obtivemos aproximadamente esse valor).
Passo 5
Continuando o cálculo do fator da fórmula:
Dividindo pelo juro
:
Esse número é o fator de acumulação da anuidade: cada R$1 aplicado ao final de cada ano, ao final de 8 anos, resulta em aproximadamente R$13,232820556.
Passo 6
Multiplicando pelo valor do depósito
:
Arredondando para centavos, o montante é aproximadamente
reais.
Interpretação: aplicar R$1.000.000 ao final de cada ano durante 8 anos a 14% a.a. gera cerca de R$13,23 milhões ao final do 8º ano.
Passo 7
Comentário extra (útil para prova): se os depósitos ocorressem no início de cada período (anuidade devida, primeiro depósito em
), então o valor futuro no final de
seria o caso ordinário multiplicado por
. Numericamente seria
Ou seja, pagar um período antes aumenta o montante final porque cada depósito rende um período a mais.