Uma empresa prevê que as receitas geradas por um projeto decresçam de acordo com um gradiente aritmético de
50 \mathrm{mil} / \mathrm{ano}
$280$ mil (i.e, fim do ano 1) e que a vida útil do projeto seja de 5 anos: Qual o valor do fluxo de caixa no ano 3?
Qual o valor anual uniforme equivalente, nos anos 1 a 5 , do rendimento proveniente deste projeto, considerando uma taxa de juros de
a.a.?
Qual o valor anual uniforme equivalente, nos anos 1 a 5 , do rendimento proveniente deste projeto, considerando uma taxa de juros de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
-
Informações dadas:
- Gradiente aritmético das receitas:
decrescendo. Vou chamar o gradiente de (a cada ano a receita diminui em ). - Receita esperada no fim do ano 1:
. Vou chamar isso de . - Vida útil do projeto:
anos. - Taxa de juros nominal anual:
.
- Gradiente aritmético das receitas:
-
Perguntas pedidas:
- Qual o valor do fluxo de caixa no ano 3?
- Qual o valor anual uniforme equivalente (ou seja, uma renda anual constante) nos anos 1 a 5, considerando a taxa
a.a.?
Passo 2
Entendendo o padrão de receitas (gradiente aritmético) — fórmula básica que vamos usar:
- Num gradiente aritmético decrescente, a receita no fim do ano
é dada por
onde:
-
é a receita no fim do ano , -
é a receita no fim do ano , -
é o incremento por ano (aqui será negativo porque decresce), -
é o ano (inteiro entre e ). -
No nosso caso temos
e o gradiente é decrescente de por ano, logo
Passo 3
Vamos calcular as receitas ano a ano usando a fórmula
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto o fluxo de caixa no ano 3 é
. (Resposta à primeira pergunta.)
Passo 4
Agora vamos transformar esses fluxos variáveis em um valor anual uniforme equivalente. Primeiro explico o raciocínio financeiro:
- O valor presente (PV) de um fluxo de caixa é a soma dos valores futuros trazidos ao tempo zero descontando pela taxa
. Para um valor recebível no fim do ano , o fator de desconto é . - Depois de encontrar o
das receitas (tempo zero), convertemos esse numa renda anual constante (pagamentos no fim de cada ano de a ) usando o fator de capitalização inverso (fator de recuperação de capital) , cuja fórmula é
Então
Passo 5
Calcular o valor presente
somando cada receita descontada:
Vamos primeiro listar
para
:
Agora os PVs de cada
(em milhares de dólares — “mil” mantido nas unidades):
- PV do ano 1:
- PV do ano 2:
- PV do ano 3:
- PV do ano 4:
- PV do ano 5:
Passo 6
Somando todos os PVs obtemos o
total das receitas:
(De novo, isso está em dólares; como trabalhamos em “mil”, é equivalente a
mil.)
Passo 7
Agora vamos converter esse
numa renda anual
constante em
anos à taxa
.
- Primeiro calculamos o fator
:
Usando
, temos
e numericamente
Passo 8
Finalmente:
Arredondando para uma apresentação prática, a renda anual uniforme equivalente é aproximadamente
por ano (ou
se você preferir manter a unidade “mil”).
Resposta
Valor do fluxo de caixa no ano 3:
Valor anual uniforme equivalente (anos 1 a 5, ):
Valor anual uniforme equivalente (anos 1 a 5,