Uma empresa prevê que as receitas geradas por um projeto decresçam de acordo com um gradiente aritmético de \ 50 \mathrm{mil} / \mathrm{ano} . Espera-se que as receitas deste ano sejam de$280$ mil (i.e, fim do ano 1) e que a vida útil do projeto seja de 5 anos: Qual o valor do fluxo de caixa no ano 3?
Qual o valor anual uniforme equivalente, nos anos 1 a 5 , do rendimento proveniente deste projeto, considerando uma taxa de juros de 12 \% a.a.?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informações dadas:
    • Gradiente aritmético das receitas: \$50\text{ mil/ano} decrescendo. Vou chamar o gradiente de G (a cada ano a receita diminui em G).
    • Receita esperada no fim do ano 1: \$280\text{ mil}. Vou chamar isso de R_1.
    • Vida útil do projeto: n=5 anos.
    • Taxa de juros nominal anual: i=12\% = 0{,}12.
  • Perguntas pedidas:
    1. Qual o valor do fluxo de caixa no ano 3?
    2. Qual o valor anual uniforme equivalente (ou seja, uma renda anual constante) nos anos 1 a 5, considerando a taxa i=12\% a.a.?

Passo 2

Entendendo o padrão de receitas (gradiente aritmético) — fórmula básica que vamos usar:
  • Num gradiente aritmético decrescente, a receita no fim do ano t é dada por
R_t = R_1 + (t-1)\,G,
onde:
  • \;R_t é a receita no fim do ano t,
  • \;R_1 é a receita no fim do ano 1,
  • \;G é o incremento por ano (aqui G será negativo porque decresce),
  • \;t é o ano (inteiro entre 1 e n).
  • No nosso caso temos \;R_1=\$280\text{ mil} e o gradiente é decrescente de \$50\text{ mil} por ano, logo
G = -\$50\text{ mil}.

Passo 3

Vamos calcular as receitas ano a ano usando a fórmula \;R_t = R_1 + (t-1)G.
  • Para t=1:
R_1 = \$280\text{ mil}.
  • Para t=2:
R_2 = R_1 + (2-1)G = \$280\text{ mil} + 1\cdot(-\$50\text{ mil}) = \$230\text{ mil}.
  • Para t=3:
R_3 = R_1 + (3-1)G = \$280\text{ mil} + 2\cdot(-\$50\text{ mil}) = \$280\text{ mil} - \$100\text{ mil} = \$180\text{ mil}.
  • Para t=4:
R_4 = \$280\text{ mil} + 3\cdot(-\$50\text{ mil}) = \$130\text{ mil}.
  • Para t=5:
R_5 = \$280\text{ mil} + 4\cdot(-\$50\text{ mil}) = \$80\text{ mil}.
Portanto o fluxo de caixa no ano 3 é \$180\text{ mil}. (Resposta à primeira pergunta.)

Passo 4

Agora vamos transformar esses fluxos variáveis em um valor anual uniforme equivalente. Primeiro explico o raciocínio financeiro:
  • O valor presente (PV) de um fluxo de caixa é a soma dos valores futuros trazidos ao tempo zero descontando pela taxa i. Para um valor recebível no fim do ano t, o fator de desconto é (1+i)^{-t}.
  • Depois de encontrar o PV das receitas (tempo zero), convertemos esse PV numa renda anual constante A (pagamentos no fim de cada ano de 1 a n) usando o fator de capitalização inverso (fator de recuperação de capital) (A/P,i,n), cuja fórmula é
\left(\frac{A}{P},i,n\right) = \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Então
A = PV \cdot \left(\frac{A}{P},i,n\right).

Passo 5

Calcular o valor presente PV somando cada receita descontada:
Vamos primeiro listar (1+i)^t para i=0{,}12:
(1+i)^1 = 1{,}12,\quad (1+i)^2 = 1{,}2544,\quad (1+i)^3 = 1{,}404928,
(1+i)^4 = 1{,}57351936,\quad (1+i)^5 = 1{,}7635416832.
Agora os PVs de cada R_t (em milhares de dólares — “mil” mantido nas unidades):
  • PV do ano 1:
\text{PV}_1 = \frac{R_1}{(1+i)^1} = \frac{\$280\text{ mil}}{1{,}12} = \$250{,}000.
  • PV do ano 2:
\text{PV}_2 = \frac{\$230\text{ mil}}{1{,}2544} \approx \$183{,}414{,}556.
  • PV do ano 3:
\text{PV}_3 = \frac{\$180\text{ mil}}{1{,}404928} \approx \$128{,}150{,}684.
  • PV do ano 4:
\text{PV}_4 = \frac{\$130\text{ mil}}{1{,}57351936} \approx \$82{,}645{,}878.
  • PV do ano 5:
\text{PV}_5 = \frac{\$80\text{ mil}}{1{,}7635416832} \approx \$45{,}357{,}898.

Passo 6

Somando todos os PVs obtemos o PV total das receitas:
PV = \text{PV}_1+\text{PV}_2+\text{PV}_3+\text{PV}_4+\text{PV}_5 \approx \$689{,}569{,}016.
(De novo, isso está em dólares; como trabalhamos em “mil”, é equivalente a \$689{,}569 mil.)

Passo 7

Agora vamos converter esse PV numa renda anual A constante em n=5 anos à taxa i=12\%.
  • Primeiro calculamos o fator \left(\dfrac{A}{P},i,n\right):
\left(\frac{A}{P},0{,}12,5\right) = \frac{0{,}12}{1-(1{,}12)^{-5}}.
Usando (1{,}12)^5 = 1{,}7635416832, temos
(1{,}12)^{-5} = \frac{1}{1{,}7635416832},
e numericamente
\left(\frac{A}{P}\right) \approx 0{,}27715248.

Passo 8

Finalmente:
A = PV \cdot \left(\frac{A}{P},0{,}12,5\right) \approx \$689{,}569{,}016 \times 0{,}27715248 \approx \$191{,}115{,}432.
Arredondando para uma apresentação prática, a renda anual uniforme equivalente é aproximadamente \$191{,}115 por ano (ou \$191{,}115\text{ mil} se você preferir manter a unidade “mil”).

Resposta

Valor do fluxo de caixa no ano 3: \$180\text{ mil}
Valor anual uniforme equivalente (anos 1 a 5, i=12\%): \$191{,}115\text{ por ano (aprox.)}

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