Os engenheiros da ABC S.A. concluíram uma modificação em um equipamento. A reforma custou
8.000
$13.000,00
$ 1.700
11 %$ ao ano a partir de então. Determine o valor presente equivalente da modificação e do custo de manutenção, sendo que a taxa de juros é de 8%a.a.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o valor presente equivalente (ou valor presente total) da modificação considerando (1) o custo inicial da reforma, (2) o valor recuperado anual e (3) os custos de manutenção ao longo dos 6 anos, usando taxa de juros de
ao ano.
Informações dadas (listei todas, com o formato claro):
- custo imediato (no tempo zero) da modificação:
. - vida útil da modificação:
anos. - valor recuperado anual (receita ou economia) durante esses anos:
por ano, nos anos . - custos de manutenção:
no primeiro ano (isto é, no ano 1) e crescem ao ano depois disso (crescimento geométrico com taxa ), para os anos a . - taxa de juros (desconto):
ao ano.
Objetivo numérico final: calcular o valor presente equivalente líquido considerando as entradasanuais) e as saídas imediato e manutenções crescentes).
Passo 2
Estratégia e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas).
- Para uma série uniforme de pagamentos/recebimentos iguais
por anos (pagos no fim de cada ano, ano a ), o valor presente é dado por:
Explicação das variáveis:
-
é o pagamento/recebimento periódico (ano a ano). -
é a taxa de juros por período (aqui anual). -
é o número de períodos (anos).
Essa fórmula vem da soma da progressão geométrica dos descontos de cada parcela.
- Para uma série que cresce geometricamente (primeiro pagamento
no ano 1, taxa de crescimento por ano, por anos), o valor presente é:
Explicação: cada pagamento do ano
vale
; descontando ao fator
e somando resulta nessa fórmula. Note que a fórmula funciona mesmo se
(aqui teremos denominador negativo mas numerador também negativo para
finito), desde que
seja finito.
- O valor presente total do projeto (valor presente equivalente) será:
- somar o valor presente das entradas (aqui: os
anuais), - subtrair o custo inicial
(pagamento no tempo 0), - subtrair o valor presente dos custos de manutenção (série crescente).
Agora aplicamos tudo numericamente, mostrando cada conta.
Passo 3
Cálculo do valor presente dos
anuais por 6 anos com
.
Aplicamos a fórmula da anuidade com
,
e
:
Calculemos passo a passo:
- primeiro
. Vamos calcular: , , , , . - assim
. - então
. - dividindo por
: . - finalmente
.
Arredondando razoavelmente:
Passo 4
Cálculo do valor presente dos custos de manutenção que começam em
no ano 1 e crescem
ao ano, por
anos, com
.
Usamos a fórmula da série geométrica crescente com
,
,
,
:
Vamos calcular os termos:
- taxa relativa
- elevando à sexta potência:
(cálculo passo a passo por multiplicação sucessiva dá esse resultado). - assim o numerador
- o denominador
- a razão vale
- multiplicando por
:
Portanto:
Observação didática: o fato de
torna os termos futuros maiores rapidamente, mas como temos apenas
períodos o valor presente permanece finito e calculável com a fórmula acima.
Passo 5
Somar tudo para obter o valor presente equivalente líquido do projeto (modificação + manutenção).
Componentes:
- custo inicial (tempo zero):
— é saída imediata, então subtraímos. - valor presente das recuperações anuais:
— entrada. - valor presente dos custos de manutenção:
— saída.
Assim o valor presente equivalente líquido é:
Substituindo números:
Calcule:
-
. -
.
Pequena nota sobre arredondamento: devido a pequenos arredondamentos intermediários, se usarmos as cifras anteriores com mais casas obtivemos
; com os arredondamentos neste passo obtemos
. Mantendo coerência com os valores calculados passo a passo, vamos apresentar o resultado com dois centavos alinhado ao cálculo mais exato anterior.