Quanto ao limite lim (x y) (0,0) x^2-y^2x^2+y^2, ele existe ou não? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar o limite de uma função de duas variáveis
f(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2
quando (x,y)to(0,0). Em limites de funções de várias variáveis, se encontrarmos duas curvas de aproximação que levem a valores diferentes, o limite não existe. Vamos mostrar isso usando duas retas passando pela origem.

Passo 2

Aproximando pela reta y=0, temos
f(x,0)=x^2-0x^2+0=1
Logo
lim(x,0)to(0,0)f(x,y)=1

Passo 3

Aproximando pela reta y=x, obtemos
f(x,x)=x^2-x^2x^2+x^2=0
Logo
lim(x,x)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 4

Como ao longo de y=0 o limite vale 1 e ao longo de y=x vale 0, obtemos valores diferentes. Logo o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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