Classifique a superfície quadrática dada por x-y^2-z^2=0. Descreva os cortes da superfície nos planos x y, x z e no plano dado por x=1.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a superfície quadrática
x - y^2 - z^2 = 0
e descrever seus cortes nos planos xy (isto é, z=0), xz (isto é, y=0) e no plano x=1. O conteúdo envolve identificar o tipo de superfície quadrática e analisar suas seções planas.

Passo 2

Reescrevendo a equação como
x = y^2 + z^2
vemos que ela tem o mesmo formato de um paraboloide elíptico na forma padrão y^2a^2 + z^2b^2 = x, com a=b=1 e eixo principal ao longo de x.

Passo 3

Portanto, a superfície é um paraboloide elíptico orientado ao longo do eixo x, que se abre para valores crescentes de x.

Passo 4

No plano xy (isto é, z=0), a equação fica
x = y^2,
que é uma parábola no plano xy com vértice na origem e aberta para x>=0.

Passo 5

No plano xz (isto é, y=0), a equação fica
x = z^2,
que é uma parábola análoga no plano xz, também com vértice na origem e aberta para x>=0.

Passo 6

No plano x=1, a equação fica
1 - y^2 - z^2 = 0
ou seja
y^2 + z^2 = 1,
que é um círculo de raio 1 no plano x=1.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico orientado ao longo do eixo x, aberto para x>=0.
No plano z=0: parábola x=y^2.
No plano y=0: parábola x=z^2.
No plano x=1: círculo y^2+z^2=1.

Exercícios relacionados