Classifique a superfície quadrática dada por
. Descreva os cortes da superfície nos planos
e no plano dado por
.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a superfície quadrática
e descrever seus cortes nos planos
(isto é,
),
(isto é,
) e no plano
. O conteúdo envolve identificar o tipo de superfície quadrática e analisar suas seções planas.
Passo 2
Reescrevendo a equação como
vemos que ela tem o mesmo formato de um paraboloide elíptico na forma padrão
, com
e eixo principal ao longo de
.
Passo 3
Portanto, a superfície é um paraboloide elíptico orientado ao longo do eixo
, que se abre para valores crescentes de
.
Passo 4
No plano
(isto é,
), a equação fica
que é uma parábola no plano
com vértice na origem e aberta para
.
Passo 5
No plano
(isto é,
), a equação fica
que é uma parábola análoga no plano
, também com vértice na origem e aberta para
.
Passo 6
No plano
, a equação fica
ou seja
que é um círculo de raio
no plano
.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico orientado ao longo do eixo
, aberto para
.
No plano : parábola
.
No plano : parábola
.
No plano : círculo
.
No plano
No plano
No plano