Use as sequências das somas parciais para mostrar que
sumn=0^infty 1(n+1)(n+2)=12

Passo 1

O enunciado pede para somar a série
sumn=0^infty 1(n+1)(n+2)
usando as somas parciais. O conteúdo principal é a decomposição em frações parciais e o efeito telescópico na soma.

Passo 2

Decompondo o termo geral em frações parciais, temos para todo n>=0:
1(n+1)(n+2) = An+1 + Bn+2
Resolvendo 1 = A(n+2) + B(n+1) para todo n A=1 e B=-1. Logo
1(n+1)(n+2) = 1n+1 - 1n+2

Passo 3

Defina a soma parcial
SN = sumn=0^N 1(n+1)(n+2) = sumn=0^Nl(1n+1-1n+2r)
Essa soma telescopa:
SN = l(11-12r) + l(12-13r) + cdots + l(1N+1-1N+2r) = 1 - 1N+2

Passo 4

Para obter a soma da série, basta tomar o limite de SN quando Ntoinfty:
sumn=0^infty 1(n+1)(n+2) = limNtoinfty SN = limNtoinftyl(1 - 1N+2r) = 1

Resposta

A soma da série é 1.

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