(1.5) Quanto aos métodos para determinar zeros de funçóes, podemos afirmar que:
I) Sabemos que existe um único
tal que
se a derivada da função se anular nas extremidades do intervalo
.
II) Sabemos que existe
tal que
se a função muda de sinal do intervalo.
III) O método de Newton é um caso particular do método de ponto fixo.
IV) O método de ponto fixo converge sempre que houver uma única raiz no intervalo escolhido.
a) Apenas II e III sāo verdadeiras
b) Apenas IV é verdadeira
c) Apenas 1 é verdadeira
d) Apenas I e II silo verdadeiras
e) Todas sào verdadeiras
I) Sabemos que existe um único
II) Sabemos que existe
III) O método de Newton é um caso particular do método de ponto fixo.
IV) O método de ponto fixo converge sempre que houver uma única raiz no intervalo escolhido.
a) Apenas II e III sāo verdadeiras
b) Apenas IV é verdadeira
c) Apenas 1 é verdadeira
d) Apenas I e II silo verdadeiras
e) Todas sào verdadeiras
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre métodos para determinar zeros de funções e pede que escolhamos qual alternativa está correta entre as dadas. As afirmações são:
I) Sabemos que existe um único tal que
se a derivada da função se anular nas extremidades do intervalo
.
II) Sabemos que existe tal que
se a função muda de sinal no intervalo.
III) O método de Newton é um caso particular do método de ponto fixo.
IV) O método de ponto fixo converge sempre que houver uma única raiz no intervalo escolhido.
As alternativas são:
a) Apenas II e III são verdadeiras
b) Apenas IV é verdadeira
c) Apenas I é verdadeira
d) Apenas I e II são verdadeiras
e) Todas são verdadeiras
I) Sabemos que existe um único
II) Sabemos que existe
III) O método de Newton é um caso particular do método de ponto fixo.
IV) O método de ponto fixo converge sempre que houver uma única raiz no intervalo escolhido.
As alternativas são:
a) Apenas II e III são verdadeiras
b) Apenas IV é verdadeira
c) Apenas I é verdadeira
d) Apenas I e II são verdadeiras
e) Todas são verdadeiras
Passo 2
Analisando a afirmação I. Ela diz, em termos matemáticos, que se
e
então existe um único
com
.
Primeiro, o que significa e
? Significa apenas que as tangentes nos pontos de extremidade do intervalo têm inclinação zero — informação sobre as derivadas nesses pontos, não sobre os valores de
. Essa informação por si só não implica existência nem unicidade de raízes.
Contraexemplo simples e direto: seja para todo
. Então
para todo
, logo
, mas
para qualquer
(não há raiz). Portanto I é falsa.
Outro contraexemplo para falsificar a unicidade: se então
e há infinitas raízes, não uma única. Conclusão: I é falsa.
Primeiro, o que significa
Contraexemplo simples e direto: seja
Outro contraexemplo para falsificar a unicidade: se
Passo 3
Analisando a afirmação II. Ela afirma que existe
tal que
se a função muda de sinal no intervalo.
Aqui entra o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se é contínua em
e
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe pelo menos um
tal que
.
Explicando com calma: mudar de sinal significa que um dos extremos é positivo e o outro é negativo. A continuidade garante que, ao passar de um valor positivo para um negativo, a função tem que cruzar o eixo em algum ponto — esse é o ponto onde
. Exemplo simples:
em
tem
,
, logo existe
com
.
O enunciado não explicitou “contínua”, mas a instrução do exercício nos diz para considerar a formulação adequada; portanto assumimos continuidade quando se discute mudança de sinal. Sob essa hipótese, II é verdadeira (garante existência, não necessariamente unicidade).
Aqui entra o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se
Explicando com calma: mudar de sinal significa que um dos extremos é positivo e o outro é negativo. A continuidade garante que, ao passar de um valor positivo para um negativo, a função tem que cruzar o eixo
O enunciado não explicitou “contínua”, mas a instrução do exercício nos diz para considerar a formulação adequada; portanto assumimos continuidade quando se discute mudança de sinal. Sob essa hipótese, II é verdadeira (garante existência, não necessariamente unicidade).
Passo 4
Analisando a afirmação III. Vou explicar o que é método de ponto fixo e depois mostrar que Newton é um caso particular.
Método de ponto fixo: queremos resolver . Se definirmos a sequência iterativa
Método de ponto fixo: queremos resolver
então procuramos um ponto
tal que
; esse
é um ponto fixo de
. Para usar esse método para resolver
precisamos escrever a equação na forma
(há várias maneiras de fazer isso).
Método de Newton: a iteração de Newton para resolver é
Método de Newton: a iteração de Newton para resolver
Reescrevendo, isso é
Portanto Newton é exatamente uma iteração do tipo ponto fixo aplicada ao
acima; ou seja, Newton é um caso particular do método de ponto fixo (com uma escolha específica de
). Logo III é verdadeira. (Nota: isso não garante convergência em todos os casos; existem hipóteses padrão para que Newton converja localmente, mas a afirmação III é apenas estrutural e é correta.)
Passo 5
Analisando a afirmação IV. Ela diz que o método de ponto fixo converge sempre que houver uma única raiz no intervalo escolhido. Isso é demasiado otimista: unicidade da raiz não garante convergência da iteração
. O que garante convergência é, por exemplo, a Condição de Contração (Teorema do Ponto Fixo de Banach): se
é contínua em
, mapeia
em si e existe
tal que
para todo
, então
é contratora e a iteração converge para o único ponto fixo. Note que essa condição é sobre
(derivada menor que 1 em módulo), não sobre apenas existir uma única raiz.
Contraexemplo simples que mostra que IV é falsa: considere a equação em
. Tem uma única raiz
. Escrevemos como ponto fixo com
(isto é,
também pode ser visto como
com este
). Então a iteração de ponto fixo é
Contraexemplo simples que mostra que IV é falsa: considere a equação
Se
essa sequência diverge (multiplica por
a cada passo). Assim, mesmo tendo uma única raiz, existe uma forma natural de escrever
que leva a iteração divergente. Portanto IV é falsa.
Passo 6
Resumo das verdades e falsidades: I é falsa (contraexemplo com
ou
), II é verdadeira (Teorema do Valor Intermediário, assumindo continuidade), III é verdadeira (Newton é um caso particular de iteração de ponto fixo com
), IV é falsa (unicidade da raiz não garante que uma dada iteração de ponto fixo seja convergente; é preciso condição de contração).
Resposta
(a)