(1.5) Quanto aos métodos para determinar zeros de funçóes, podemos afirmar que:
I) Sabemos que existe um único z \in[a, b] tal que f(z)=0 se a derivada da função se anular nas extremidades do intervalo [a, b].
II) Sabemos que existe z \in[a, b] tal que f(z)=0 se a função muda de sinal do intervalo.
III) O método de Newton é um caso particular do método de ponto fixo.
IV) O método de ponto fixo converge sempre que houver uma única raiz no intervalo escolhido.
a) Apenas II e III sāo verdadeiras
b) Apenas IV é verdadeira
c) Apenas 1 é verdadeira
d) Apenas I e II silo verdadeiras
e) Todas sào verdadeiras

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre métodos para determinar zeros de funções e pede que escolhamos qual alternativa está correta entre as dadas. As afirmações são:
I) Sabemos que existe um único z\in[a,b] tal que f(z)=0 se a derivada da função se anular nas extremidades do intervalo [a,b].
II) Sabemos que existe z\in[a,b] tal que f(z)=0 se a função muda de sinal no intervalo.
III) O método de Newton é um caso particular do método de ponto fixo.
IV) O método de ponto fixo converge sempre que houver uma única raiz no intervalo escolhido.
As alternativas são:
a) Apenas II e III são verdadeiras
b) Apenas IV é verdadeira
c) Apenas I é verdadeira
d) Apenas I e II são verdadeiras
e) Todas são verdadeiras

Passo 2

Analisando a afirmação I. Ela diz, em termos matemáticos, que se f'(a)=0 e f'(b)=0 então existe um único z\in[a,b] com f(z)=0.
Primeiro, o que significa f'(a)=0 e f'(b)=0? Significa apenas que as tangentes nos pontos de extremidade do intervalo têm inclinação zero — informação sobre as derivadas nesses pontos, não sobre os valores de f. Essa informação por si só não implica existência nem unicidade de raízes.
Contraexemplo simples e direto: seja f(x)=1 para todo x\in[a,b]. Então f'(x)=0 para todo x, logo f'(a)=f'(b)=0, mas f(x)\neq0 para qualquer x (não há raiz). Portanto I é falsa.
Outro contraexemplo para falsificar a unicidade: se f(x)\equiv 0 então f'(a)=f'(b)=0 e há infinitas raízes, não uma única. Conclusão: I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação II. Ela afirma que existe z\in[a,b] tal que f(z)=0 se a função muda de sinal no intervalo.
Aqui entra o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Explicando com calma: mudar de sinal significa que um dos extremos é positivo e o outro é negativo. A continuidade garante que, ao passar de um valor positivo para um negativo, a função tem que cruzar o eixo x em algum ponto — esse é o ponto onde f=0. Exemplo simples: f(x)=x em [-1,1] tem f(-1)=-1, f(1)=1, logo existe c=0 com f\text{(c)}=0.
O enunciado não explicitou “contínua”, mas a instrução do exercício nos diz para considerar a formulação adequada; portanto assumimos continuidade quando se discute mudança de sinal. Sob essa hipótese, II é verdadeira (garante existência, não necessariamente unicidade).

Passo 4

Analisando a afirmação III. Vou explicar o que é método de ponto fixo e depois mostrar que Newton é um caso particular.
Método de ponto fixo: queremos resolver x=g(x). Se definirmos a sequência iterativa
x_{n+1}=g(x_n),
então procuramos um ponto x^* tal que x^*=g(x^*); esse x^* é um ponto fixo de g. Para usar esse método para resolver f(x)=0 precisamos escrever a equação na forma x=g(x) (há várias maneiras de fazer isso).
Método de Newton: a iteração de Newton para resolver f(x)=0 é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Reescrevendo, isso é
x_{n+1}=g(x_n)\quad\text{com}\quad g(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}.
Portanto Newton é exatamente uma iteração do tipo ponto fixo aplicada ao g acima; ou seja, Newton é um caso particular do método de ponto fixo (com uma escolha específica de g). Logo III é verdadeira. (Nota: isso não garante convergência em todos os casos; existem hipóteses padrão para que Newton converja localmente, mas a afirmação III é apenas estrutural e é correta.)

Passo 5

Analisando a afirmação IV. Ela diz que o método de ponto fixo converge sempre que houver uma única raiz no intervalo escolhido. Isso é demasiado otimista: unicidade da raiz não garante convergência da iteração x_{n+1}=g(x_n). O que garante convergência é, por exemplo, a Condição de Contração (Teorema do Ponto Fixo de Banach): se g é contínua em [a,b], mapeia [a,b] em si e existe k\in[0,1) tal que |g'(x)|\le k<1 para todo x\in[a,b], então g é contratora e a iteração converge para o único ponto fixo. Note que essa condição é sobre g (derivada menor que 1 em módulo), não sobre apenas existir uma única raiz.
Contraexemplo simples que mostra que IV é falsa: considere a equação f(x)=x em [-1,1]. Tem uma única raiz x=0. Escrevemos como ponto fixo com g(x)=2x (isto é, f(x)=x também pode ser visto como x=g(x) com este g). Então a iteração de ponto fixo é
x_{n+1}=2x_n.
Se x_0\neq0 essa sequência diverge (multiplica por 2 a cada passo). Assim, mesmo tendo uma única raiz, existe uma forma natural de escrever f(x)=0 que leva a iteração divergente. Portanto IV é falsa.

Passo 6

Resumo das verdades e falsidades: I é falsa (contraexemplo com f\equiv1 ou f\equiv0), II é verdadeira (Teorema do Valor Intermediário, assumindo continuidade), III é verdadeira (Newton é um caso particular de iteração de ponto fixo com g(x)=x-\tfrac{f(x)}{f'(x)}), IV é falsa (unicidade da raiz não garante que uma dada iteração de ponto fixo seja convergente; é preciso condição de contração).

Resposta

(a)

Exercícios relacionados