(2) Suponha que você esteja projetando um tanque esférico para armazenar a água de uma pequena vila. O volume de líquido que ele armazena pode ser calculado por
onde
é o volume em
, h é a profundidade da água no tanque e R é o raio do tanque, ambos em metros. Se
metros, até qual profundidade o tanque deve estar cheio para que ele armazene
? Use o método de Newton-Raphson com
e precisão
para determinar sua resposta.
a) 0.9747
b) 1,3214
c) 1,4532
d) 0,9532
e) 0,8214
a) 0.9747
b) 1,3214
c) 1,4532
d) 0,9532
e) 0,8214
Passo 1
O enunciado dá a fórmula do volume do líquido no tanque:
e pede: para
metros, encontrar a profundidade
tal que o tanque armazene
. Dados e perguntas claramente listados:
- fórmula:
; - valor do raio:
(metros); - volume desejado:
(metros cúbicos); - chute inicial:
; - precisão exigida:
.
A tarefa é determinarque satisfaz usando o método de Newton-Raphson com os dados acima.
Passo 2
Vamos transformar a condição
em uma equação do tipo
. Substituindo
na fórmula:
Definimos a função
Queremos encontrar
tal que
. Note:
representa a profundidade da água em metros.
Passo 3
Para aplicar Newton-Raphson precisamos da derivada
. Vamos derivar
passo a passo. Escrevendo
a derivada é
Explicando: derivei cada termo usando a regra básica
. A constante
sai como fator.
Passo 4
Agora apresento a fórmula iterativa de Newton-Raphson e explico as letras:
onde
é a aproximação atual,
é o valor da função nessa aproximação e
é a derivada nesse ponto. Começamos com
.
Calculemos
e
:
Aplicando a fórmula:
Mostrei cada número: o numerador é
e o denominador é
.
Passo 5
Agora iteramos a partir de
. Primeiro calculamos alguns termos auxiliares para
:
Com isso:
logo
A derivada em
é
Aplicando Newton:
Verificação da diferença:
portanto ainda precisamos iterar.
Passo 6
Fazemos mais uma iteração (agora a convergência será rápida). Pelo desenvolvimento de Taylor (ou simplesmente avaliando novamente), obtemos uma estimativa de
e
Então a correção seguinte é
e
Agora a diferença
então atingimos a precisão exigida e podemos parar.
Passo 7
Conclusão numérica: a profundidade encontra-se (com precisão de quatro casas decimais) em torno de
Isto corresponde à alternativa (a) da lista.
Resposta
a)