(2) Suponha que você esteja projetando um tanque esférico para armazenar a água de uma pequena vila. O volume de líquido que ele armazena pode ser calculado por
V=\pi h^{2} \frac{(3 R-h)}{3},
onde V é o volume em \mathrm{m}^{3}, h é a profundidade da água no tanque e R é o raio do tanque, ambos em metros. Se \mathrm{R}=2 metros, até qual profundidade o tanque deve estar cheio para que ele armazene 5 \mathrm{~m}^{3} ? Use o método de Newton-Raphson com x_{0}=1 e precisão \varepsilon=10^{-4} para determinar sua resposta.
a) 0.9747
b) 1,3214
c) 1,4532
d) 0,9532
e) 0,8214

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do volume do líquido no tanque:
V=\pi h^{2}\frac{(3R-h)}{3},
e pede: para R=2 metros, encontrar a profundidade h tal que o tanque armazene 5\\ \mathrm{m}^3. Dados e perguntas claramente listados:
  • fórmula: V=\pi h^{2}\dfrac{(3R-h)}{3};
  • valor do raio: R=2 (metros);
  • volume desejado: V=5 (metros cúbicos);
  • chute inicial: x_{0}=1;
  • precisão exigida: \varepsilon=10^{-4}.
    A tarefa é determinar h que satisfaz V(h)=5 usando o método de Newton-Raphson com os dados acima.

Passo 2

Vamos transformar a condição V(h)=5 em uma equação do tipo f(h)=0. Substituindo R=2 na fórmula:
V(h)=\pi h^{2}\frac{(3\cdot 2 - h)}{3}=\frac{\pi}{3}\,h^{2}(6-h).
Definimos a função
f(h)=\frac{\pi}{3}\,h^{2}(6-h)-5.
Queremos encontrar h tal que f(h)=0. Note: h representa a profundidade da água em metros.

Passo 3

Para aplicar Newton-Raphson precisamos da derivada f'(h). Vamos derivar f(h) passo a passo. Escrevendo
f(h)=\frac{\pi}{3}\big(6h^{2}-h^{3}\big)-5,
a derivada é
f'(h)=\frac{\pi}{3}\big(12h-3h^{2}\big)=\pi(4h-h^{2})=\pi h(4-h).
Explicando: derivei cada termo usando a regra básica \dfrac{d}{dh}(h^{n})=n h^{n-1}. A constante \pi/3 sai como fator.

Passo 4

Agora apresento a fórmula iterativa de Newton-Raphson e explico as letras:
h_{n+1}=h_{n}-\frac{f(h_{n})}{f'(h_{n})},
onde h_{n} é a aproximação atual, f(h_{n}) é o valor da função nessa aproximação e f'(h_{n}) é a derivada nesse ponto. Começamos com h_{0}=1.
Calculemos f(1) e f'(1):
f(1)=\frac{\pi}{3}\cdot 1^{2}(6-1)-5=\frac{5\pi}{3}-5\approx 0,235987755982988.
f'(1)=\pi\cdot 1\cdot(4-1)=3\pi\approx 9,42477796076938.
Aplicando a fórmula:
h_{1}=1-\frac{0,235987755982988}{9,42477796076938}\approx 0,974953799017012.
Mostrei cada número: o numerador é f(1) e o denominador é f'(1).

Passo 5

Agora iteramos a partir de h_{1}. Primeiro calculamos alguns termos auxiliares para h_{1}:
h_{1}^{2}\approx 0,950534908,\qquad 6-h_{1}\approx 5,025046201.
Com isso:
\frac{\pi}{3}\,h_{1}^{2}(6-h_{1})\approx 5,001918856,
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f(h_{1})\approx 5,001918856-5=0,001918856.
A derivada em h_{1} é
f'(h_{1})=\pi h_{1}(4-h_{1})\approx 9,265437\\ \\ (\text{aprox.}).
Aplicando Newton:
h_{2}=h_{1}-\frac{f(h_{1})}{f'(h_{1})}\approx 0,974953799017012-\frac{0,001918856}{9,265437}\approx 0,974746638.
Verificação da diferença:
|h_{2}-h_{1}|\approx 0,000207161>10^{-4},
portanto ainda precisamos iterar.

Passo 6

Fazemos mais uma iteração (agora a convergência será rápida). Pelo desenvolvimento de Taylor (ou simplesmente avaliando novamente), obtemos uma estimativa de
f(h_{2})\approx 1{,}38\times 10^{-7}\quad\text{(valor muito pequeno)},
e
f'(h_{2})\approx 9{,}264104\\ \\ (\text{aprox.}).
Então a correção seguinte é
\Delta = \frac{f(h_{2})}{f'(h_{2})}\approx 1{,}49\times 10^{-8},
e
h_{3}=h_{2}-\Delta\approx 0,974746624.
Agora a diferença
|h_{3}-h_{2}|\approx 1{,}49\times 10^{-8}<10^{-4},
então atingimos a precisão exigida e podemos parar.

Passo 7

Conclusão numérica: a profundidade encontra-se (com precisão de quatro casas decimais) em torno de
h\approx 0,9747\\ \text{m}.
Isto corresponde à alternativa (a) da lista.

Resposta

a) 0,9747

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