Em quanto tempo duplica um capital aplicado à taxa simples de
ao ano?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Em quanto tempo duplica um capital aplicado à taxa simples de
ao ano?”\n\nInformações dadas no enunciado:\n
A taxa de juros é
ao ano.\n
Queremos que o capital aplicado “duplica”, ou seja, o montante final seja o dobro do capital inicial.\n
Trata-se de juros simples (isso está explícito no enunciado).\n\nNada mais foi pedido — só o tempo necessário para dobrar o capital nas condições acima.
Passo 2
Vamos escrever a fórmula de juros simples e entender cada termo. A fórmula do montante em juros simples é\n
\nonde:\n
é o montante (valor final, capital + juros),\n
é o capital inicial (principal),\n
é a taxa de juros por período (em forma decimal),\n
é o tempo medido no mesmo número de períodos da taxa (por exemplo, anos se
é ao ano).\n\nExplicação curta: em juros simples os juros não entram na base para calcular juros futuros — a cada período calcula-se sempre os mesmos juros sobre o capital inicial
. Por isso o montante cresce linearmente com
.
Passo 3
Aplicamos a condição “duplica”: o montante
deve ser o dobro do capital
. Então colocamos\n
\nSubstituindo na fórmula do montante temos\n
Passo 4
Agora simplificamos a equação para encontrar
. Como
é positivo, podemos dividir os dois lados por
:\n
\nIsolando
obtemos\n
\nportanto\n
\nInterpretação: para dobrar o capital em juros simples, o tempo necessário é o recíproco da taxa (em unidades compatíveis).
Passo 5
Agora substituímos a taxa dada. A taxa é
ao ano, que em decimal é\n
\nLogo\n
Passo 6
Fazendo a divisão sem calculadora básica:\n
\nPortanto
anos.\n\nConvertendo a parte decimal em meses:
ano corresponde a\n
meses. Logo
anos é o mesmo que
anos e
meses.
Passo 7
Verificação (método alternativo e de checagem): os juros simples gerados por ano são
. Para acumular juros iguais ao capital
(o que soma a
e resulta em
) precisamos de um número de anos
tal que\n
\nDividindo por
:
, logo
anos — coincide com o resultado anterior.\n\nChecagem final substituindo na fórmula do montante:\n
\nconfirmando que o capital dobrou.