Em quanto tempo duplica um capital aplicado à taxa simples de 8 \% ao ano?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Em quanto tempo duplica um capital aplicado à taxa simples de 8\% ao ano?”\n\nInformações dadas no enunciado:\n \;1. A taxa de juros é \;8\% ao ano.\n \;2. Queremos que o capital aplicado “duplica”, ou seja, o montante final seja o dobro do capital inicial.\n \;3. Trata-se de juros simples (isso está explícito no enunciado).\n\nNada mais foi pedido — só o tempo necessário para dobrar o capital nas condições acima.

Passo 2

Vamos escrever a fórmula de juros simples e entender cada termo. A fórmula do montante em juros simples é\n M = C\,(1 + r\,t)\nonde:\n \;M é o montante (valor final, capital + juros),\n \;C é o capital inicial (principal),\n \;r é a taxa de juros por período (em forma decimal),\n \;t é o tempo medido no mesmo número de períodos da taxa (por exemplo, anos se r é ao ano).\n\nExplicação curta: em juros simples os juros não entram na base para calcular juros futuros — a cada período calcula-se sempre os mesmos juros sobre o capital inicial C. Por isso o montante cresce linearmente com t.

Passo 3

Aplicamos a condição “duplica”: o montante M deve ser o dobro do capital C. Então colocamos\n M = 2C.\nSubstituindo na fórmula do montante temos\n 2C = C\,(1 + r\,t).

Passo 4

Agora simplificamos a equação para encontrar t. Como C é positivo, podemos dividir os dois lados por C:\n 2 = 1 + r\,t.\nIsolando t obtemos\n r\,t = 2 - 1 = 1\nportanto\n t = \frac{1}{r}.\nInterpretação: para dobrar o capital em juros simples, o tempo necessário é o recíproco da taxa (em unidades compatíveis).

Passo 5

Agora substituímos a taxa dada. A taxa é 8\% ao ano, que em decimal é\n r = 0,08.\nLogo\n t = \frac{1}{0,08}.

Passo 6

Fazendo a divisão sem calculadora básica:\n \frac{1}{0,08} = \frac{1}{8/100} = \frac{100}{8} = 12{,}5.\nPortanto t = 12{,}5 anos.\n\nConvertendo a parte decimal em meses: 0{,}5 ano corresponde a\n 0{,}5 \times 12 = 6
meses. Logo 12{,}5 anos é o mesmo que 12 anos e 6 meses.

Passo 7

Verificação (método alternativo e de checagem): os juros simples gerados por ano são \;rC = 0{,}08C. Para acumular juros iguais ao capital C (o que soma a C e resulta em 2C) precisamos de um número de anos t tal que\n t \cdot 0{,}08C = C.\nDividindo por C: t\cdot 0{,}08 = 1, logo t = 1/0{,}08 = 12{,}5 anos — coincide com o resultado anterior.\n\nChecagem final substituindo na fórmula do montante:\n M = C(1 + 0{,}08\cdot 12{,}5) = C(1 + 1) = 2C,\nconfirmando que o capital dobrou.

Resposta

12{,}5 anos (ou 12 anos e 6 meses)

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