Se o valor atual de um título é igual a 4 / 5 de seu valor nominal e o prazo de aplicação for de 15 meses, qual a taxa de juros simples considerada?

Passo 1

O enunciado nos dá que o valor atual (valor presente) de um título é igual a \tfrac{4}{5} do seu valor nominal (valor futuro) e que o prazo de aplicação é de 15 meses. A pergunta é: qual a taxa de juros simples considerada?
Informações relevantes:
  • Valor presente =\tfrac{4}{5} do valor nominal.
  • Prazo =15 meses.
  • Queremos a taxa de juros simples i (vamos interpretar i por período; como o prazo está em meses, vamos determinar i ao mês, e depois também podemos converter para taxa anual simples).

Passo 2

Vou escrever a fórmula básica de juros simples que relaciona valor presente, valor futuro, taxa e número de períodos. Se N é o valor nominal (futuro), PV o valor presente, i a taxa de juros simples por período e n o número de períodos, então a relação é
PV=\frac{N}{1+i\,n}.
Explicação da fórmula: em juros simples o acréscimo sobre o principal é proporcional ao tempo; para descontar um valor futuro N até o presente dividimos por 1+i n. Aqui PV é o que se paga hoje para receber N depois de n períodos.

Passo 3

Agora substituo a informação do enunciado: PV=\tfrac{4}{5}N. Colocando na fórmula:
\tfrac{4}{5}N=\frac{N}{1+i\,n}.
Posso simplificar dividindo ambos os lados por N (supondo N\neq0):
\tfrac{4}{5}=\frac{1}{1+i\,n}.

Passo 4

Inverto ambos os lados para isolar 1+i n:
\frac{5}{4}=1+i\,n.
Logo
i\,n=\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}=0{,}25.

Passo 5

Agora uso o número de períodos n. Como o prazo foi dado em meses e queremos a taxa por mês, tomo n=15. Assim
i=\frac{0{,}25}{15}=\frac{1}{60}=0{,}016\overline{6}.
Convertendo para porcentagem, a taxa por mês é
i=1{,}666\%\\ \text{ao mês (aprox.)}.ê

Passo 6

Faremos uma verificação rápida para ter certeza: com i=\tfrac{1}{60} ao mês e n=15,
1+i\,n=1+\frac{1}{60}\cdot15=1+\frac{15}{60}=1+\frac{1}{4}=1{,}25,
então PV=\dfrac{N}{1{,}25}=0{,}8N=\tfrac{4}{5}N, que bate com o enunciado.

Passo 7

Opcional — converter para taxa anual em regime de juros simples: na juros simples a taxa anual i_{\text{ano}} (simples) é i_{\text{ano}}=12\cdot i_{\text{mês}}ê. Assim
i_{\text{ano}}=12\cdot\frac{1}{60}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}=0{,}2=20\% \text{ ao ano (juros simples).}

Resposta

i=\dfrac{1}{60}=0{,}016\overline{6} ao mês =1{,}666\% ao mês.
i_{\text{ano}}=20\% ao ano (juros simples).

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