1. Em quanto tempo três torneiras enchem um tanque juntas, sabendo que sozinhas elas encheriam o tanque em 2,3 e 6 horas, respectivamente?
    a) 1 h
    b) 1 h 15 min
    c) 1 h 20 min
    d) 1 h 30 min

Passo 1

O enunciado dá três torneiras que, trabalhando sozinhas, enchem um tanque em 2, 3 e 6 horas, respectivamente. A pergunta é: em quanto tempo elas enchem o tanque se abertas juntas? As alternativas são:
a) 1 h
b) 1 h 15 min
c) 1 h 20 min
d) 1 h 30 min

Passo 2

Explicação do conceito que vamos usar — taxa de trabalho: se uma torneira enche o tanque em T horas, sua taxa de enchimento é a quantidade de tanque por hora, isto é \dfrac{1}{T} tanque por hora. Por exemplo, se uma torneira enche em 4 horas, sua taxa é \dfrac{1}{4} (em uma hora ela enche um quarto do tanque). Quando várias torneiras trabalham juntas, cada uma contribui com a sua fração do tanque por hora, e as contribuições somam: a taxa combinada é a soma das taxas individuais. Assim, depois de t horas, a fração do tanque preenchida é \text{(taxa combinada)}\times t. Para encher o tanque inteiro queremos que essa fração seja 1.

Passo 3

Calcular as taxas individuais (pegando os tempos do enunciado):
  • Torneira 1 (sozinha 2 h): taxa r_1=\dfrac{1}{2} tanque por hora.
  • Torneira 2 (sozinha 3 h): taxa r_2=\dfrac{1}{3} tanque por hora.
  • Torneira 3 (sozinha 6 h): taxa r_3=\dfrac{1}{6} tanque por hora.

Passo 4

Somar as taxas para obter a taxa combinada:
r = r_1 + r_2 + r_3 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}.
Calculemos essa soma com denominador comum 6:
\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6},\qquad \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6},\qquad \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{6},
r=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{6}{6}=1.
Logo a taxa combinada é 1 tanque por hora.

Passo 5

Converter taxa em tempo: se a taxa combinada é r tanque/hora, o tempo necessário para encher 1 tanque é t=\dfrac{1}{r} horas. Aqui r=1, então
t=\dfrac{1}{1}=1\\ \text{hora}.
Em minutos, 1 hora =60 minutos.

Passo 6

Checagem intuitiva: como as três taxas somaram exatamente 1 tanque por hora, em uma hora o tanque fica cheio — faz sentido e confere com o cálculo anterior. Força aí, essa é daquelas que até assusta no começo, mas a conta é elegante e rápida!

Resposta

a) 1 h

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