1. Uma torneira enche um tanque em 2 horas e um ralo esvazia o mesmo tanque em 3 h . Estando a torneira e o ralo simultaneamente abertos, qual será o tempo necessário para encher o reservatório?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A torneira enche o tanque em \,2 horas.
    • O ralo esvazia o mesmo tanque em \,3 horas.
  • Pergunta:
    • Se a torneira e o ralo estiverem abertos ao mesmo tempo, qual o tempo necessário para encher o reservatório?

Passo 2

Entendendo a ideia de “taxa” (o que vamos usar): pensar em quanto do tanque é preenchido ou esvaziado por hora. Essa é a fração do tanque por unidade de tempo.
  • A torneira, sozinha, preenche \dfrac{1}{2} do tanque a cada hora. Escrevendo como taxa:
\text{taxa da torneira} = \frac{1}{2}\\ \text{tanque por hora}.
  • O ralo, sozinho, esvazia \dfrac{1}{3} do tanque a cada hora. Como taxa (negativa, pois remove água):
\text{taxa do ralo} = \frac{1}{3}\\ \text{tanque por hora}.

Passo 3

Quando os dois atuam simultaneamente, a taxa líquida é a diferença entre o que entra e o que sai (enchimento menos esvaziamento). Vamos calcular:
\text{taxa líquida}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}í
Para subtrair as frações, passo a passo: transformar no mesmo denominador (6):
\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\qquad \frac{1}{3}=\frac{2}{6}
\text{taxa líquida}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}\\ \text{tanque por hora}.í
Isso significa que, com os dois abertos, a cada hora fica pronto \dfrac{1}{6} do tanque.

Passo 4

Agora calcular o tempo necessário para completar 1 tanque quando a taxa é \dfrac{1}{6} tanque/hora. A relação geral é:
\text{tempo}=\frac{\text{trabalho total}}{\text{taxa}}.
Aqui o trabalho total é 1 tanque, então:
t=\frac{1}{1/6} = 6\\ \text{horas}.

Passo 5

Verificação rápida e intuitiva (serve como checagem na prova): em 6 horas a torneira sozinha preencheria
6\cdot\frac{1}{2}=3\\ \text{tanques},
e o ralo esvaziaria
6\cdot\frac{1}{3}=2\\ \text{tanques}.
Logo o total preenchido é 3-2=1 tanque — conferindo que 6 horas está correto.

Passo 6

Dica prática para prova: sempre converta tempos em “taxas” (fração do trabalho por hora). Some taxas quando dispositivos ajudam, e subtraia quando um deles atrapalha (esvazia). Isso funciona para torneiras, máquinas trabalhando juntas, etc. Você manda bem — respira fundo e aplica esse esquema que dá certo.

Resposta

6 horas

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