Quanto trabalho é necessário para juntar oito partículas carregadas idênticas de carga
, cada uma em um vértice de um cubo de lado
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre calcular o trabalho necessário para juntar oito partículas idênticas, cada uma com carga $ q $, posicionadas nos vértices de um cubo de lado $ a $. Para isso, vamos usar os conceitos de energia potencial eletrostática e a Lei de Coulomb. Precisamos entender como calcular a energia entre cada par de cargas e somar tudo para obter o trabalho total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho necessário para trazer uma carga até outra já existente é igual à energia potencial eletrostática entre elas. A fórmula da energia potencial entre duas cargas $ q $ separadas por uma distância $ r $ é dada por:
onde $ k $ é a constante eletrostática ($ k \approx 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $).
Passo 3
Agora, no caso de um cubo, cada vértice está conectado a outros vértices de três maneiras diferentes:
- Arestas do cubo: a distância entre dois vértices ligados diretamente por uma aresta é $ a $.
- Diagonais das faces: a distância entre dois vértices que estão na mesma face, mas não ligados por uma aresta, é $ \sqrt{2}a $.
- Diagonais do cubo: a distância entre dois vértices que estão em posições opostas através do cubo é $ \sqrt{3}a $.
Precisamos calcular a energia para cada tipo de separação e depois somar tudo.
Passo 4
Vamos contar quantas interações de cada tipo temos em um cubo:
- Arestas: Cada cubo tem 12 arestas.
- Diagonais das faces: Cada cubo tem 12 diagonais de faces.
- Diagonais do cubo: Cada cubo tem 4 diagonais principais.
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia para cada tipo de interação:
- Arestas:
- Diagonais das faces:
- Diagonais do cubo:
Passo 6
Vamos somar todas essas energias para obter o trabalho total necessário:
Substituindo os valores:
Passo 7
Para simplificar, podemos fatorar $ \frac{k q^2}{a} $:
Resposta
O trabalho necessário para juntar as oito partículas carregadas é: