Quanto trabalho é necessário para juntar oito partículas carregadas idênticas de carga q, cada uma em um vértice de um cubo de lado a?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre calcular o trabalho necessário para juntar oito partículas idênticas, cada uma com carga $ q $, posicionadas nos vértices de um cubo de lado $ a $. Para isso, vamos usar os conceitos de energia potencial eletrostática e a Lei de Coulomb. Precisamos entender como calcular a energia entre cada par de cargas e somar tudo para obter o trabalho total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho necessário para trazer uma carga até outra já existente é igual à energia potencial eletrostática entre elas. A fórmula da energia potencial entre duas cargas $ q $ separadas por uma distância $ r $ é dada por:
q
onde $ k $ é a constante eletrostática ($ k \approx 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $).

Passo 3

Agora, no caso de um cubo, cada vértice está conectado a outros vértices de três maneiras diferentes:
  1. Arestas do cubo: a distância entre dois vértices ligados diretamente por uma aresta é $ a $.
  2. Diagonais das faces: a distância entre dois vértices que estão na mesma face, mas não ligados por uma aresta, é $ \sqrt{2}a $.
  3. Diagonais do cubo: a distância entre dois vértices que estão em posições opostas através do cubo é $ \sqrt{3}a $.
Precisamos calcular a energia para cada tipo de separação e depois somar tudo.

Passo 4

Vamos contar quantas interações de cada tipo temos em um cubo:
  • Arestas: Cada cubo tem 12 arestas.
  • Diagonais das faces: Cada cubo tem 12 diagonais de faces.
  • Diagonais do cubo: Cada cubo tem 4 diagonais principais.

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia para cada tipo de interação:
  1. Arestas:
Uarestas = 12 times ( k q^2a )
  1. Diagonais das faces:
Ufaces = 12 times ( k q^2raiz2a )
  1. Diagonais do cubo:
Udiagonais = 4 times ( k q^2raiz3a )

Passo 6

Vamos somar todas essas energias para obter o trabalho total necessário:
Utotal = Uarestas + Ufaces + Udiagonais
Substituindo os valores:
Utotal = 12 ( k q^2a ) + 12 ( k q^2raiz2a ) + 4 ( k q^2raiz3a )

Passo 7

Para simplificar, podemos fatorar $ \frac{k q^2}{a} $:
k q^2a

Resposta

O trabalho necessário para juntar as oito partículas carregadas é:
Utotal = k q^2a ( 12 + 12raiz2 + 4raiz3 )

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