Quantos anagramas da palavra vetorterminam em uma vogal?

Passo 1

Beleza, então o enunciado é: “Quantos anagramas da palavra vetorterminam terminam em uma vogal?”
Isso é um problema de permutação com repetição (porque a palavra tem letras que se repetem) e a gente ainda vai usar o princípio multiplicativo pra “condicionar” o último caractere a ser uma vogal. Vamos precisar da fórmula de permutação de um multiconjunto:
N!n1!,n2!,cdots,nk!
onde é o total de itens e são as repetições de cada tipo.

Passo 2

Primeiro raciocínio: a palavra tem 13 letras no total e as vogais disponíveis são — o número entre parênteses é quantas vezes cada vogal aparece. Se o anagrama deve terminar numa vogal, a gente faz:
  1. escolhe qual vogal vai pro final;
  2. conta as permutações das outras 12 letras (já ajustando a frequência restante).
Então o total será a soma dos casos “última letra = cada vogal”.

Passo 3

Vamos tratar primeiro as vogais que aparecem 1 vez na palavra: 12!2!,2!,2!,2! .
  • Se eu coloco no final, uso essa única , logo nas 12 letras restantes sobram:
    • , , ,
    • e as outras (v, o, i, n) com frequência 1 cada.
O número de permutações dessas 12 letras é
Exatamente a mesma conta vale pros casos “termina em ” e “termina em ”, já que também tinham frequência 1 originalmente.

Passo 4

Agora o caso da vogal 12!2!,2!,2! , que originalmente aparece 2 vezes.
  • Se eu coloco uma no final, restam ainda 1 entre as 12 letras, então as repetições são:
    • , , ,
    • e todas as outras letras únicas.
Aí o número de permutações é
(note que só tem três pares agora: ).

Passo 5

Juntando tudo:
  • Para 3;12!2!2!2!2!;+;12!2!2!2! : são 3 casos idênticos, cada um dá .
  • Para : dá .
Logo o total é

Resposta

3;12!2!2!2!2!;+;12!2!2!2! ;=;149,688,000

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