Quantos anagramas da palavra vetorterminam em uma vogal?
Passo 1
Beleza, então o enunciado é: “Quantos anagramas da palavra vetorterminam terminam em uma vogal?”
Isso é um problema de permutação com repetição (porque a palavra tem letras que se repetem) e a gente ainda vai usar o princípio multiplicativo pra “condicionar” o último caractere a ser uma vogal. Vamos precisar da fórmula de permutação de um multiconjunto:
Isso é um problema de permutação com repetição (porque a palavra tem letras que se repetem) e a gente ainda vai usar o princípio multiplicativo pra “condicionar” o último caractere a ser uma vogal. Vamos precisar da fórmula de permutação de um multiconjunto:
onde
é o total de itens e
são as repetições de cada tipo.
Passo 2
Primeiro raciocínio: a palavra tem 13 letras no total e as vogais disponíveis são
— o número entre parênteses é quantas vezes cada vogal aparece. Se o anagrama deve terminar numa vogal, a gente faz:
- escolhe qual vogal vai pro final;
- conta as permutações das outras 12 letras (já ajustando a frequência restante).
Então o total será a soma dos casos “última letra = cada vogal”.
Passo 3
Vamos tratar primeiro as vogais que aparecem 1 vez na palavra:
.
- Se eu coloco
no final, uso essa única , logo nas 12 letras restantes sobram: -
, , , - e as outras (v, o, i, n) com frequência 1 cada.
-
O número de permutações dessas 12 letras é
Exatamente a mesma conta vale pros casos “termina em
” e “termina em
”, já que também tinham frequência 1 originalmente.
Passo 4
Agora o caso da vogal
, que originalmente aparece 2 vezes.
- Se eu coloco uma
no final, restam ainda 1 entre as 12 letras, então as repetições são: -
, , , - e todas as outras letras únicas.
-
Aí o número de permutações é
(note que só tem três pares agora:
).
Passo 5
Juntando tudo:
- Para
: são 3 casos idênticos, cada um dá . - Para
: dá .
Logo o total é