Quantos desses divisores de 3600 são pares?
Passo 1
Beleza, o enunciado tá perguntando “Quantos divisores de 3600 são pares?”. Isso é um exercício de Teoria dos Números, mais especificamente sobre fatoração em primos e contagem de divisores. Vamos precisar:
- Fatorar 3600 em primos;
- Saber a fórmula de contagem de divisores a partir da fatoração;
- Entender que um divisor é par se, e só se, tiver fator 2 na sua composição.
Passo 2
Primeiro, fatoração de 3600. Podemos ver que
3600 = 36 × 100
36 = 6² = (2·3)² = 2²·3²
100 = 10² = (2·5)² = 2²·5²
Juntando tudo:
3600 = 2²·3² · 2²·5² = 2^(2+2)·3²·5² = 24·32·5^2
3600 = 36 × 100
36 = 6² = (2·3)² = 2²·3²
100 = 10² = (2·5)² = 2²·5²
Juntando tudo:
3600 = 2²·3² · 2²·5² = 2^(2+2)·3²·5² = 24·32·5^2
Passo 3
Agora, a regra de contagem de divisores:
Se n = pa·qb·r^c …, então o número total de divisores de n é (a+1)(b+1)(c+1)…
No nosso caso, n = 3600 = 24·32·5^2, logo total de divisores = (4+1)·(2+1)·(2+1) = 5·3·3 = 45.
Se n = pa·qb·r^c …, então o número total de divisores de n é (a+1)(b+1)(c+1)…
No nosso caso, n = 3600 = 24·32·5^2, logo total de divisores = (4+1)·(2+1)·(2+1) = 5·3·3 = 45.
Passo 4
Para o divisor ser par, ele precisa “conter” pelo menos um 2 na sua fatoração. Ou seja, o expoente de 2 varia de 1 até 4.
- Nº de escolhas para o expoente de 2: 4 opções (1,2,3 ou 4)
- Nº de escolhas para o expoente de 3: 3 opções (0,1 ou 2)
- Nº de escolhas para o expoente de 5: 3 opções (0,1 ou 2)
Multiplicando: 4·3·3 = 36 divisores pares.
Resposta
36