(OBM 2005) Num relógio digital, as horas são exibidas por meio de quatro algarismos. O relógio varia das 00:00 às 23:00 horas. Quantas vezes por dia os quatro algarismos mostrados são todos pares?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um relógio digital mostrando HH:MM de 00:00 até 23:59, e queremos saber em quantos momentos os quatro dígitos são todos pares.
Matéria: contagem (princípio multiplicativo e soma de casos).
O que vamos precisar:
  1. Saber o que são dígitos pares (0,2,4,6,8).
  2. Contar quantas opções cada dígito pode ter, respeitando as regras de hora (00–23) e minuto (00–59).
  3. Usar o princípio multiplicativo para combinar horas e minutos, e o princípio da soma quando for caso com subcasos.

Passo 2

Contando as horas com ambos os dígitos pares.
  • Primeiro dígito da hora, , só pode ser 0,1 ou 2, mas como queremos par: fica .
  • Para cada escolha de , analisamos o segundo dígito :
    • Se , então a hora vai de 00 a 09, e pode ser qualquer dígito par de 0 a 9: , ou seja, 5 opções.
    • Se , a hora vai de 20 a 23, mas para ser par só pode ser , pois 4,6,8 gerariam 24,26,28 (inválido). São 2 opções.
      Como esses dois casos não se sobrepõem, somamos:
      número de horas pares = .

Passo 3

Contando os minutos com ambos os dígitos pares.
  • Primeiro dígito do minuto, , vai de 0 a 5. Só queremos pares: , ou seja, 3 opções.
  • Segundo dígito do minuto, , vai de 0 a 9. Queremos pares: , 5 opções.
    Pelo princípio multiplicativo, minutos pares = .

Passo 4

Agora juntamos horas e minutos. Cada hora “válida” pode combinar com qualquer minuto “válido”, então:
total de momentos por dia = .

Resposta

105

Exercícios relacionados