(OBM 2005) Num relógio digital, as horas são exibidas por meio de quatro algarismos. O relógio varia das 00:00 às 23:00 horas. Quantas vezes por dia os quatro algarismos mostrados são todos pares?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um relógio digital mostrando HH:MM de 00:00 até 23:59, e queremos saber em quantos momentos os quatro dígitos são todos pares.
Matéria: contagem (princípio multiplicativo e soma de casos).
O que vamos precisar:
Matéria: contagem (princípio multiplicativo e soma de casos).
O que vamos precisar:
- Saber o que são dígitos pares (0,2,4,6,8).
- Contar quantas opções cada dígito pode ter, respeitando as regras de hora (00–23) e minuto (00–59).
- Usar o princípio multiplicativo para combinar horas e minutos, e o princípio da soma quando for caso com subcasos.
Passo 2
Contando as horas com ambos os dígitos pares.
- Primeiro dígito da hora,
, só pode ser 0,1 ou 2, mas como queremos par: fica . - Para cada escolha de
, analisamos o segundo dígito : - Se
, então a hora vai de 00 a 09, e pode ser qualquer dígito par de 0 a 9: , ou seja, 5 opções. - Se
, a hora vai de 20 a 23, mas para ser par só pode ser , pois 4,6,8 gerariam 24,26,28 (inválido). São 2 opções.
Como esses dois casos não se sobrepõem, somamos:
número de horas pares =.
- Se
Passo 3
Contando os minutos com ambos os dígitos pares.
- Primeiro dígito do minuto,
, vai de 0 a 5. Só queremos pares: , ou seja, 3 opções. - Segundo dígito do minuto,
, vai de 0 a 9. Queremos pares: , 5 opções.
Pelo princípio multiplicativo, minutos pares =.
Passo 4
Agora juntamos horas e minutos. Cada hora “válida” pode combinar com qualquer minuto “válido”, então:
total de momentos por dia = .
total de momentos por dia =
Resposta
105