De um grupo de 8 diretores de uma empresa, deseja-se escolher um presidente, um vice-presidente e um tesoureiro. De quantas maneiras isso pode ser feito, sabendo que uma mesma pessoa não pode acumular cargos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há um grupo com 8 diretores.
  • Deseja-se escolher três pessoas para ocupar três cargos distintos: presidente, vice-presidente e tesoureiro.
  • Uma mesma pessoa não pode acumular cargos (ou seja, sem repetição).
O que o problema pede:
  • Determinar de quantas maneiras diferentes essa escolha (preencher os três cargos distintos) pode ser feita, respeitando a proibição de acumular cargos.

Passo 2

Entendendo o tipo de contagem (ideia básica, com exemplo pequeno)
  • Como os cargos são diferentes (presidente, vice-presidente e tesoureiro), a ordem importa: escolher A para presidente e B para vice não é o mesmo que escolher B para presidente e A para vice.
  • Regra do produto (princípio multiplicativo): se uma etapa pode ser feita de m maneiras e, depois disso, uma segunda etapa pode ser feita de n maneiras (independentemente da escolha anterior, exceto por restrição de não repetição), então as duas etapas juntas podem ser feitas de m\cdot n maneiras.
  • Exemplo pequeno e intuitivo: com 3 pessoas \{A,B,C\}, escolher presidente e vice (sem repetição) dá 3 escolhas para presidente e, depois, 2 para vice, totalizando 3\cdot2 maneiras. Isso evidencia que escolhas sequenciais distintas se multiplicam.

Passo 3

Aplicando o princípio ao problema:
  • Para escolher o presidente há \,8 opções (qualquer um dos 8 diretores).
  • Após escolher o presidente, resta um grupo de 7 diretores para o cargo de vice-presidente, logo há \,7 opções para vice.
  • Após escolher presidente e vice (duas pessoas distintas), restam \,6 diretores disponíveis para tesoureiro, logo há \,6 opções para tesoureiro.
  • Pelo princípio multiplicativo, o número total de maneiras é
8\cdot 7 \cdot 6.

Passo 4

Forma alternativa (fórmula de permutações): usar fatoriais
  • A permutação de n elementos tomados k a k é dada por
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) é n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 1.
  • Aqui n=8 e k=3, então
P(8,3)=\frac{8!}{(8-3)!}=\frac{8!}{5!}.
  • Desenvolvendo 8! como 8\cdot7\cdot6\cdot5! e simplificando com o 5! do denominador, resta
8\cdot7\cdot6,
confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 5

Cálculo final (tipo de conta que faria na prova)
  • Pode-se calcular passo a passo se desejar:
8\cdot7=56,
56\cdot6=336.
  • Assim, a expressão do passo 3/4 resulta no número de maneiras pedido.

Resposta

336

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