De um grupo de 8 diretores de uma empresa, deseja-se escolher um presidente, um vice-presidente e um tesoureiro. De quantas maneiras isso pode ser feito, sabendo que uma mesma pessoa não pode acumular cargos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há um grupo com
diretores. - Deseja-se escolher três pessoas para ocupar três cargos distintos: presidente, vice-presidente e tesoureiro.
- Uma mesma pessoa não pode acumular cargos (ou seja, sem repetição).
O que o problema pede:
- Determinar de quantas maneiras diferentes essa escolha (preencher os três cargos distintos) pode ser feita, respeitando a proibição de acumular cargos.
Passo 2
Entendendo o tipo de contagem (ideia básica, com exemplo pequeno)
- Como os cargos são diferentes (presidente, vice-presidente e tesoureiro), a ordem importa: escolher A para presidente e B para vice não é o mesmo que escolher B para presidente e A para vice.
- Regra do produto (princípio multiplicativo): se uma etapa pode ser feita de
maneiras e, depois disso, uma segunda etapa pode ser feita de maneiras (independentemente da escolha anterior, exceto por restrição de não repetição), então as duas etapas juntas podem ser feitas de maneiras. - Exemplo pequeno e intuitivo: com
pessoas , escolher presidente e vice (sem repetição) dá escolhas para presidente e, depois, para vice, totalizando maneiras. Isso evidencia que escolhas sequenciais distintas se multiplicam.
Passo 3
Aplicando o princípio ao problema:
- Para escolher o presidente há
opções (qualquer um dos diretores). - Após escolher o presidente, resta um grupo de
diretores para o cargo de vice-presidente, logo há opções para vice. - Após escolher presidente e vice (duas pessoas distintas), restam
diretores disponíveis para tesoureiro, logo há opções para tesoureiro. - Pelo princípio multiplicativo, o número total de maneiras é
Passo 4
Forma alternativa (fórmula de permutações): usar fatoriais
- A permutação de
elementos tomados a é dada por
onde
(lê-se “
fatorial”) é
.
- Aqui
e , então
- Desenvolvendo
como e simplificando com o do denominador, resta
confirmando o resultado do passo anterior.
Passo 5
Cálculo final (tipo de conta que faria na prova)
- Pode-se calcular passo a passo se desejar:
- Assim, a expressão do passo 3/4 resulta no número de maneiras pedido.
Resposta
336