Quantos inteiros entre 1000 e 10000 inclusive não são divisíveis nem por 2, nem por 3 e nem por 5?
Passo 1
Beleza, vamos contar quantos inteiros de 1000 a 10000 (incluindo os dois) NÃO são divisíveis nem por 2, nem por 3, nem por 5.
Conteúdo: princípio da inclusão-exclusão e contagem de múltiplos num intervalo usando piso.
O que a gente vai precisar:
Conteúdo: princípio da inclusão-exclusão e contagem de múltiplos num intervalo usando piso.
O que a gente vai precisar:
- Saber quantos múltiplos de um número
existem entre 1000 e 10000. - Aplicar inclusão-exclusão para excluir divisíveis por 2, 3, 5.
Passo 2
Primeiro, total de números no intervalo:
Agora, para cada divisor
, calculamos quantos múltiplos de
há nesse intervalo via
Passo 3
Vamos achar:
A = múltiplos de 2
B = múltiplos de 3
C = múltiplos de 5
A = múltiplos de 2
B = múltiplos de 3
C = múltiplos de 5
Passo 4
Agora as interseções (múltiplos de 2 e 3 = 6, de 2 e 5 = 10, de 3 e 5 = 15) e a tripla (30):
Passo 5
Pelo princípio da inclusão-exclusão, número de inteiros divisíveis por pelo menos um de {2,3,5} é
Substituindo:
Então, os que não são divisíveis por nenhum desses são
Resposta
2400 integers.