Quantos inteiros entre 1000 e 10000 inclusive não são divisíveis nem por 2, nem por 3 e nem por 5?

Passo 1

Beleza, vamos contar quantos inteiros de 1000 a 10000 (incluindo os dois) NÃO são divisíveis nem por 2, nem por 3, nem por 5.
Conteúdo: princípio da inclusão-exclusão e contagem de múltiplos num intervalo usando piso.
O que a gente vai precisar:
  • Saber quantos múltiplos de um número existem entre 1000 e 10000.
  • Aplicar inclusão-exclusão para excluir divisíveis por 2, 3, 5.

Passo 2

Primeiro, total de números no intervalo:
N = 10000 - 1000 + 1 = 9001
Agora, para cada divisor #mú, calculamos quantos múltiplos de há nesse intervalo via
ú

Passo 3

Vamos achar:
A = múltiplos de 2
B = múltiplos de 3
C = múltiplos de 5
|A| = lfloor10000/2rfloor - lfloor999/2rfloor = 5000 - 499 = 4501,
|B| = lfloor10000/3rfloor - lfloor999/3rfloor = 3333 - 333 = 3000,
|C| = lfloor10000/5rfloor - lfloor999/5rfloor = 2000 - 199 = 1801

Passo 4

Agora as interseções (múltiplos de 2 e 3 = 6, de 2 e 5 = 10, de 3 e 5 = 15) e a tripla (30):
|Acap B| = lfloor10000/6rfloor - lfloor999/6rfloor = 1666 - 166 = 1500,
|Acap C| = lfloor10000/10rfloor - lfloor999/10rfloor = 1000 - 99 = 901,
|Bcap C| = lfloor10000/15rfloor - lfloor999/15rfloor = 666 - 66 = 600,
|Acap Bcap C| = lfloor10000/30rfloor - lfloor999/30rfloor = 333 - 33 = 300

Passo 5

Pelo princípio da inclusão-exclusão, número de inteiros divisíveis por pelo menos um de {2,3,5} é
|Acup Bcup C| = |A|+|B|+|C| - l(|Acap B|+|Acap C|+|Bcap C|r) + |Acap Bcap C|
Substituindo:
|Acup Bcup C| = (4501+3000+1801) - (1500+901+600) + 300 = 9302 - 3001 + 300 = 6601
Então, os que não são divisíveis por nenhum desses são
N - |Acup Bcup C| = 9001 - 6601 = 2400

Resposta

2400 integers.

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