Retira-se ao acaso uma amostra de 33 notas de um concurso. Sabendo-se que a média dessa amostra é 30,0 , e que a distribuição das notas é Normal com um desvio padrão de 2,5 , determinar: Se a nota média está nos intervalos: 30 pm 1,2. Determine o nível de confiança dos intervalos.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que a gente tirou uma amostra de 33 notas de um concurso, a média amostral deu 30,0 e o desvio padrão da população (σ) é 2,5. A gente precisa achar o nível de confiança de um intervalo de confiança em torno de 30,0 com largura de mais ou menos 1,2 pontos (isto é, ).
Conteúdo: intervalo de confiança para a média de uma população Normal com desvio padrão conhecido.
O que precisamos: fórmula da margem de erro para σ conhecido e a função de distribuição Normal padrão para converter esse erro num nível de confiança.

Passo 2

Antes de começar a calcular, vamos entender a teoria. Quando σ é conhecido e a amostra é grande, o intervalo de confiança para a média μ é
bar x pm zalpha/2,sigmaraizn
onde
  • 1,2 ;=; zalpha/2,2,5raiz33 é a média amostral (aqui 30,0),
  • é o quantil da Normal padrão que corresponde a metade da “área que sobra” fora do intervalo,
  • é o erro padrão da média.
A gente já sabe a margem de erro (1,2), σ (2,5) e n (33). Então só falta achar o que encaixa

Passo 3

Isolando zalpha/2 ;=; 1,2 ,raiz332,5 , fica
zalpha/2 approx 1,2times 5,74462,5 approx 2,7574
Calculando:
,
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Passo 4

Agora a gente interpreta esse 1 - alpha = Pl(-zalpha/2 <= Z <= zalpha/2r) ;=; 2,Phi(zalpha/2) - 1, . O nível de confiança 1 - alpha approx 2times 0,99707 - 1 = 0,99414, é dado por
onde é a função de distribuição acumulada da Normal padrão.
Consultando tabela ou calculadora dá
.
Então
ou seja, cerca de 0,99414 → 99,414%.

Resposta

O nível de confiança para o intervalo é aproximadamente 99,41%.

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