Retira-se ao acaso uma amostra de 33 notas de um concurso. Sabendo-se que a média dessa amostra é 30,0 , e que a distribuição das notas é Normal com um desvio padrão de 2,5 , determinar: Se a nota média está nos intervalos:
. Determine o nível de confiança dos intervalos.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que a gente tirou uma amostra de 33 notas de um concurso, a média amostral deu 30,0 e o desvio padrão da população (σ) é 2,5. A gente precisa achar o nível de confiança de um intervalo de confiança em torno de 30,0 com largura de mais ou menos 1,2 pontos (isto é,
).
Conteúdo: intervalo de confiança para a média de uma população Normal com desvio padrão conhecido.
O que precisamos: fórmula da margem de erro para σ conhecido e a função de distribuição Normal padrão para converter esse erro num nível de confiança.
Conteúdo: intervalo de confiança para a média de uma população Normal com desvio padrão conhecido.
O que precisamos: fórmula da margem de erro para σ conhecido e a função de distribuição Normal padrão para converter esse erro num nível de confiança.
Passo 2
Antes de começar a calcular, vamos entender a teoria. Quando σ é conhecido e a amostra é grande, o intervalo de confiança para a média μ é
onde
-
é a média amostral (aqui 30,0), -
é o quantil da Normal padrão que corresponde a metade da “área que sobra” fora do intervalo, -
é o erro padrão da média.
A gente já sabe a margem de erro (1,2), σ (2,5) e n (33). Então só falta achar o
que encaixa
Passo 3
Isolando
, fica
Calculando:
,
logo
logo
Passo 4
Agora a gente interpreta esse
. O nível de confiança
é dado por
onde
é a função de distribuição acumulada da Normal padrão.
Consultando tabela ou calculadora dá
.
Então
Consultando tabela ou calculadora dá
Então
ou seja, cerca de 0,99414 → 99,414%.
Resposta
O nível de confiança para o intervalo
é aproximadamente 99,41%.