• Quantos inteiros entre 1 e 1000 inclusive:
    d) são divisíveis por pelo menos 1 dos números 2,3,7 e 10 ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber quantos números inteiros, de 1 a 1000, são divisíveis por pelo menos um dos números 2, 3, 7 ou 10. Para resolver isso, vamos usar um conceito da matemática chamado Princípio da Inclusão-Exclusão. Esse princípio ajuda a contar elementos que pertencem a múltiplos conjuntos, evitando contagens duplicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar quantos números entre 1 e 1000 são divisíveis por cada um desses números individualmente.
  • Divisíveis por 2: A cada 2 números, 1 é divisível por 2. Então, temos 10002 = 500 números.
  • Divisíveis por 3: 10003 approx 333 números.
  • Divisíveis por 7: 10007 approx 142 números.
  • Divisíveis por 10: 100010 = 100 números.

Passo 3

Agora, precisamos contabilizar os números que são divisíveis por mais de um desses números, porque na contagem anterior eles foram considerados mais de uma vez. Vamos calcular quantos números são divisíveis por pares desses números:
  • Divisíveis por 2 e 3 (ou seja, por 6): 10006 approx 166 números.
  • Divisíveis por 2 e 7 (ou seja, por 14): 100014 approx 71 números.
  • Divisíveis por 2 e 10 (ou seja, por 10): Já contamos isso anteriormente, que são 100 números.
  • Divisíveis por 3 e 7 (ou seja, por 21): 100021 approx 47 números.
  • Divisíveis por 3 e 10 (ou seja, por 30): 100030 approx 33 números.
  • Divisíveis por 7 e 10 (ou seja, por 70): 100070 approx 14 números.

Passo 4

Ainda, alguns números são divisíveis por três desses números ao mesmo tempo. Vamos calcular esses casos:
  • Divisíveis por 2, 3 e 7 (ou seja, por 42): 100042 approx 23 números.
  • Divisíveis por 2, 3 e 10 (ou seja, por 30): Já contamos 33 números anteriormente.
  • Divisíveis por 2, 7 e 10 (ou seja, por 70): Já contamos 14 números anteriormente.
  • Divisíveis por 3, 7 e 10 (ou seja, por 210): 1000210 approx 4 números.

Passo 5

Por fim, precisamos verificar se há algum número que é divisível por todos os quatro números: 2, 3, 7 e 10. Isso é equivalente a dizer que o número é divisível pelo mínimo múltiplo comum desses números. O MMC de 2, 3, 7 e 10 é 210. Então:
  • Divisíveis por 2, 3, 7 e 10 (ou seja, por 210): 1000210 approx 4 números.

Resposta

Aplicando o Princípio da Inclusão-Exclusão:
500 + 333 + 142 + 100
- (166 + 71 + 100 + 47 + 33 + 14)
+ (23 + 33 + 14 + 4)
- 4
Calculando passo a passo:
500 + 333 + 142 + 100 = 1075
- (166 + 71 + 100 + 47 + 33 + 14) = - (431) Rightarrow 1075 - 431 = 644
+ (23 + 33 + 14 + 4) = +74 Rightarrow 644 + 74 = 718
- 4 = 714
Então, 714 números entre 1 e 1000 são divisíveis por pelo menos um dos números 2, 3, 7 ou 10.

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