Quantos inteiros entre 1 e 1000000 năo são quadrados perfeitos, cubos perfeitos e nem quartas potências perfeitas?

Passo 1

O problema pede a quantidade de inteiros de 1 até 1,000,000 que não são quadrados perfeitos, cubos perfeitos nem quartas potências perfeitas. Para resolver, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para contar quantos números são pelo menos um desses tipos e subtrair esse total de 1,000,000.

Passo 2

Contamos separadamente cada tipo:
– Conjunto S de quadrados perfeitos: lfloorraiz1,000,000rfloor=1000, logo lvert Srvert=1000.
– Conjunto C de cubos perfeitos: lfloorraiz[3]1,000,000rfloor=100, logo lvert Crvert=100.
– Conjunto F de quartas potências perfeitas: lfloorraiz[4]1,000,000rfloor=31, logo lvert Frvert=31.

Passo 3

Agora as interseções:
Scap C são as sextas potências: lfloor(10^6)^1/6rfloor=10.
Scap F é exatamente F, então lvert Scap Frvert=31.
Ccap F são as d\ u{o}decimas potências: lfloor(10^6)^1/12rfloor=3.
– A interseção tripla Scap Ccap F também são as d\ u{o}decimas potências, ou seja, 3.

Passo 4

Pelo princípio da inclusão-exclusão, o total de números que são pelo menos um desses tipos é
lvert Scup Ccup Frvert =lvert Srvert+lvert Crvert+lvert Frvert -lvert Scap Crvert-lvert Scap Frvert-lvert Ccap Frvert +lvert Scap Ccap Frvert
=1000+100+31-10-31-3+3=1090

Passo 5

Logo, a quantidade de inteiros de 1 a 1,000,000 que não são quadrado, cubo nem quarta potência é
1,000,000 - 1090 = 998910

Resposta

998910

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