Quantos inteiros entre 1 e 1000000 năo são quadrados perfeitos, cubos perfeitos e nem quartas potências perfeitas?
Passo 1
O problema pede a quantidade de inteiros de
até
que não são quadrados perfeitos, cubos perfeitos nem quartas potências perfeitas. Para resolver, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para contar quantos números são pelo menos um desses tipos e subtrair esse total de
.
Passo 2
Contamos separadamente cada tipo:
– Conjunto de quadrados perfeitos:
, logo
.
– Conjunto de cubos perfeitos:
, logo
.
– Conjunto de quartas potências perfeitas:
, logo
.
– Conjunto
– Conjunto
– Conjunto
Passo 3
Agora as interseções:
– são as sextas potências:
.
– é exatamente
, então
.
– são as d\ u{o}decimas potências:
.
– A interseção tripla também são as d\ u{o}decimas potências, ou seja,
.
–
–
–
– A interseção tripla
Passo 4
Pelo princípio da inclusão-exclusão, o total de números que são pelo menos um desses tipos é
Passo 5
Logo, a quantidade de inteiros de
a
que não são quadrado, cubo nem quarta potência é