Quantos inteiros entre 1 e 33000 nāo são divisíveis por 3, por 5 e nem por 11?

Passo 1

O problema pede a quantidade de inteiros de 1 a 33000 que não são divisíveis por 3, 5 nem 11. Vamos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão para contar quantos são divisíveis por pelo menos um desses números e depois subtrair esse total de 33000.

Passo 2

Definimos os conjuntos
A = n:1<= n<=33000,;3mid n,
B = n:1<= n<=33000,;5mid n,
C = n:1<= n<=33000,;11mid n.
Calculamos suas cardinalidades via divisão inteira:
|A| = lfloor 330003rfloor = 11000,
|B| = lfloor 330005rfloor = 6600,
|C| = lfloor 3300011rfloor = 3000

Passo 3

Agora os pares de interseção, usando que 3 e 5 têm mmc 15, etc.:
|Acap B| = lfloor 3300015rfloor = 2200,
|Acap C| = lfloor 3300033rfloor = 1000,
|Bcap C| = lfloor 3300055rfloor = 600

Passo 4

E a interseção tripla, com mmc de 3,5,11 igual a 165:
|Acap Bcap C| = lfloor 33000165rfloor = 200

Passo 5

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, o total de números divisíveis por pelo menos um dos três é
|Acup Bcup C| =|A|+|B|+|C| -|Acap B|-|Acap C|-|Bcap C| +|Acap Bcap C|
Substituindo os valores:
|Acup Bcup C| =11000+6600+3000-2200-1000-600+200 =17000

Passo 6

Como há 33000 inteiros de 1 a 33000, os que não são divisíveis por 3, 5 nem 11 são
33000 - 17000 = 16000

Resposta

16000

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