1. De quantos modos é possível dividir 20 pessoas:
    a) em dois grupos de 10 ?
    b) em quatro grupos de 5 ?
    c) em um grupo de 12 e um de 8 ?

Passo 1

O enunciado pede três contagens distintas sobre como dividir um conjunto de 20 pessoas. As perguntas são:
  • (a) De quantos modos é possível dividir 20 pessoas em dois grupos de 10 ?
  • (b) De quantos modos é possível dividir 20 pessoas em quatro grupos de 5 ?
  • (c) De quantos modos é possível dividir 20 pessoas em um grupo de 12 e um de 8 ?
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Temos 20 pessoas distintas.
  • Em (a) os dois grupos têm tamanhos iguais ( 10 e 10).
  • Em (b) os quatro grupos têm todos o mesmo tamanho ( 5,5,5,5).
  • Em (c) os dois grupos têm tamanhos diferentes ( 12 e 8).

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (explicadas passo a passo).
  1. Fatorial: para um inteiro não negativo n, n! (lê-se " n fatorial") é o produto
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
Exemplo: 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
  1. Combinação simples: o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto com n elementos (sem ordem) é a combinação
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Intuição: primeiro contar todas as permutações n! e dividir pelo número de maneiras internas de organizar os k escolhidos e os n-k não escolhidos, que são k!(n-k)!.
Exemplo concreto: escolher 2 pessoas entre 4:
\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{2\cdot2}=6.
  1. Multinomial (grupos rotulados): para dividir n objetos distintos em grupos de tamanhos n_1,n_2,\dots,n_m com n_1+\cdots+n_m=n, se os grupos são rotulados (ou seja, “grupo 1”, “grupo 2”, … importam), o número de formas é
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_m!}.
Isso pode ser visto escolhendo sucessivamente os membros do grupo 1, depois do grupo 2, etc. A multiplicação das combinações sucessivas simplifica para a fórmula acima.
Exemplo: dividir 5 pessoas em grupos rotulados de tamanhos 2 e 3
\frac{5!}{2!3!}=\binom{5}{2}=10,
o que corresponde a escolher os 2 do primeiro grupo; os outros 3 vão automaticamente para o segundo.
  1. Ajuste para grupos não rotulados (idênticos): se houver grupos com o mesmo tamanho e os grupos são indistinguíveis entre si (ou seja, não existe etiqueta “grupo A”, “grupo B”), então devemos dividir pela permutação entre esses grupos idênticos. Por exemplo, se temos dois grupos ambos de tamanho 2, trocar os dois grupos não produz uma divisão nova — portanto divide-se por 2!.
Exemplo curto (ilustrativo): dividir 4 pessoas em dois grupos de 2. Pela fórmula rotulada teríamos
\frac{4!}{2!2!}=6.
Mas como os dois grupos têm o mesmo tamanho e são idênticos, cada partição aparece duas vezes (trocar os rótulos dos grupos dá a mesma divisão), então o número de divisões distintas é
\frac{1}{2!}\cdot\frac{4!}{2!2!}=3,
que podemos conferir listando as partições: \{\{1,2\},\{3,4\}\}, \{\{1,3\},\{2,4\}\}, \{\{1,4\},\{2,3\}\}.

Passo 3

Resolvendo (a): dois grupos de 10.
Raciocínio passo a passo:
  • Se os dois grupos fossem rotulados (por exemplo, “grupo A” e “grupo B”), o número de maneiras seria escolher os 10 que vão para o grupo A e os restantes iriam para o grupo B:
\binom{20}{10}=\frac{20!}{10!\,10!}.
  • Mas no enunciado os grupos não têm rótulos diferentes — eles são dois grupos de 10 indistinguíveis; trocar os dois grupos não gera uma nova divisão. Assim cada divisão sem rótulo aparece exatamente 2! vezes nas contagens rotuladas (as duas permutações dos rótulos).
  • Portanto devemos dividir por 2!. O resultado é
\frac{1}{2!}\binom{20}{10}.
Se quiser ver um número, \binom{20}{10}=184\,756 então dividido por 2 92\,378. Mas a forma combinatória é a mais clara.

Passo 4

Resolvendo (b): quatro grupos de 5.
Raciocínio passo a passo:
  • Se os quatro grupos fossem rotulados (quatro caixas diferentes “A”,“B”,“C”,“D”), o número de maneiras de distribuir seria o coeficiente multinomial
\frac{20!}{5!\,5!\,5!\,5!}=\frac{20!}{(5!)^{4}}.
  • Porém os quatro grupos têm todos o mesmo tamanho 5 e são indistinguíveis (não há rótulos que os diferenciem). Trocar os rótulos entre as quatro caixas não muda a divisão. Há 4! permutações dos rótulos que levam à mesma partição não rotulada.
  • Logo devemos dividir por 4!. Assim o número final de divisões distintas é
\frac{20!}{(5!)^{4}\,4!}.
Isso é exatamente a forma padrão para partir um conjunto de 20 elementos em quatro blocos de 5 idênticos.

Passo 5

Resolvendo (c): um grupo de 12 e um de 8.
Raciocínio passo a passo:
  • Aqui os dois grupos têm tamanhos diferentes ( 12 e 8). Isso significa que eles são automaticamente distinguíveis pelo tamanho — não há ambiguidade ao trocar “rótulos”: o grupo com 12 elementos é diferente do grupo com 8 elementos.
  • Assim basta escolher quais 12 pessoas irão para o grupo de 12; as outras 8 formam o segundo grupo. O número de maneiras é
\binom{20}{12}=\frac{20!}{12!\,8!}.
  • Observação: alternativamente podemos escolher os 8 do grupo de 8 e obter \binom{20}{8}; ambos os valores são iguais por simetria.

Resposta

(a) \dfrac{1}{2!}\binom{20}{10}
(b) \dfrac{20!}{(5!)^{4}\,4!}
(c) \binom{20}{12}

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