- De quantos modos é possível dividir 20 pessoas:
a) em dois grupos de 10 ?
b) em quatro grupos de 5 ?
c) em um grupo de 12 e um de 8 ?
a) em dois grupos de 10 ?
b) em quatro grupos de 5 ?
c) em um grupo de 12 e um de 8 ?
Passo 1
O enunciado pede três contagens distintas sobre como dividir um conjunto de
pessoas. As perguntas são:
- (a) De quantos modos é possível dividir
pessoas em dois grupos de ? - (b) De quantos modos é possível dividir
pessoas em quatro grupos de ? - (c) De quantos modos é possível dividir
pessoas em um grupo de e um de ?
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Temos
pessoas distintas. - Em (a) os dois grupos têm tamanhos iguais (
e ). - Em (b) os quatro grupos têm todos o mesmo tamanho (
). - Em (c) os dois grupos têm tamanhos diferentes (
e ).
Passo 2
Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (explicadas passo a passo).
- Fatorial: para um inteiro não negativo
, (lê-se " fatorial") é o produto
Exemplo:
.
- Combinação simples: o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto com elementos (sem ordem) é a combinação
Intuição: primeiro contar todas as permutações
e dividir pelo número de maneiras internas de organizar os
escolhidos e os
não escolhidos, que são
.
Exemplo concreto: escolher
pessoas entre
:
- Multinomial (grupos rotulados): para dividir
objetos distintos em grupos de tamanhos com , se os grupos são rotulados (ou seja, “grupo 1”, “grupo 2”, … importam), o número de formas é
Isso pode ser visto escolhendo sucessivamente os membros do grupo 1, depois do grupo 2, etc. A multiplicação das combinações sucessivas simplifica para a fórmula acima.
Exemplo: dividir
pessoas em grupos rotulados de tamanhos
e
dá
o que corresponde a escolher os
do primeiro grupo; os outros
vão automaticamente para o segundo.
- Ajuste para grupos não rotulados (idênticos): se houver grupos com o mesmo tamanho e os grupos são indistinguíveis entre si (ou seja, não existe etiqueta “grupo A”, “grupo B”), então devemos dividir pela permutação entre esses grupos idênticos. Por exemplo, se temos dois grupos ambos de tamanho
, trocar os dois grupos não produz uma divisão nova — portanto divide-se por .
Exemplo curto (ilustrativo): dividir
pessoas em dois grupos de
. Pela fórmula rotulada teríamos
Mas como os dois grupos têm o mesmo tamanho e são idênticos, cada partição aparece duas vezes (trocar os rótulos dos grupos dá a mesma divisão), então o número de divisões distintas é
que podemos conferir listando as partições:
,
,
.
Passo 3
Resolvendo (a): dois grupos de
.
Raciocínio passo a passo:
- Se os dois grupos fossem rotulados (por exemplo, “grupo A” e “grupo B”), o número de maneiras seria escolher os
que vão para o grupo A e os restantes iriam para o grupo B:
- Mas no enunciado os grupos não têm rótulos diferentes — eles são dois grupos de
indistinguíveis; trocar os dois grupos não gera uma nova divisão. Assim cada divisão sem rótulo aparece exatamente vezes nas contagens rotuladas (as duas permutações dos rótulos). - Portanto devemos dividir por
. O resultado é
Se quiser ver um número,
então dividido por
dá
. Mas a forma combinatória é a mais clara.
Passo 4
Resolvendo (b): quatro grupos de
.
Raciocínio passo a passo:
- Se os quatro grupos fossem rotulados (quatro caixas diferentes “A”,“B”,“C”,“D”), o número de maneiras de distribuir seria o coeficiente multinomial
- Porém os quatro grupos têm todos o mesmo tamanho
e são indistinguíveis (não há rótulos que os diferenciem). Trocar os rótulos entre as quatro caixas não muda a divisão. Há permutações dos rótulos que levam à mesma partição não rotulada. - Logo devemos dividir por
. Assim o número final de divisões distintas é
Isso é exatamente a forma padrão para partir um conjunto de
elementos em quatro blocos de
idênticos.
Passo 5
Resolvendo (c): um grupo de
e um de
.
Raciocínio passo a passo:
- Aqui os dois grupos têm tamanhos diferentes (
e ). Isso significa que eles são automaticamente distinguíveis pelo tamanho — não há ambiguidade ao trocar “rótulos”: o grupo com elementos é diferente do grupo com elementos. - Assim basta escolher quais
pessoas irão para o grupo de ; as outras formam o segundo grupo. O número de maneiras é
- Observação: alternativamente podemos escolher os
do grupo de e obter ; ambos os valores são iguais por simetria.
Resposta
(a)
(b)
(c)