1. Quantos são os p-conjuntos (isto é, subconjuntos com p elementos) de \left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right\} nos quais:
    a) a_{1} figura;
    b) a_{1} não figura;
    c) a_{1} e a_{2} figuram;
    d) pelo menos um dos elementos a_{1}, a_{2} figura;

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos são os subconjuntos com p elementos (chamados de p-conjuntos) do conjunto \{a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\} nas seguintes situações:
a) a_{1} figura no subconjunto;
b) a_{1} não figura;
c) a_{1} e a_{2} figuram;
d) pelo menos um dos elementos a_{1},a_{2} figura.
Informações dadas e parâmetros:
  • O universo é o conjunto com n elementos \{a_{1},\dots,a_{n}\}.
  • Queremos contar subconjuntos que têm exatamente p elementos (ou seja, p-conjuntos).
  • n e p são números inteiros com 0\le p\le n (assumo isso porque a questão é padrão de combinatória).
  • Não há outras restrições além das especificadas em (a)-(d).

Passo 2

Conceito-chave: número total de p-conjuntos de um conjunto com n elementos.
Definição e fórmula: o número de maneiras de escolher p elementos dentre n sem ordem (ou seja, subconjuntos) é o coeficiente binomial
\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}.
Aqui n! (lê-se “ n fatorial”) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1, e por convenção 0!=1.
Interpretação prática: \binom{n}{p} é “quantos subconjuntos de tamanho p existem” — escolhemos p elementos entre n e a ordem de escolha não importa.
Exemplo rápido para fixar: para n=5 e p=2, \binom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!3!}=\dfrac{120}{2\cdot6}=10. Há 10 pares distintos.

Passo 3

(a) Contar p-conjuntos nos quais a_{1} figura.
Raciocínio: se a_{1} já está no subconjunto, faltam escolher mais p-1 elementos para completar o p-conjunto. Esses p-1 elementos devem ser escolhidos entre os restantes n-1 elementos \{a_{2},\dots,a_{n}\}. Assim o número procurado é o número de maneiras de escolher p-1 dentre n-1, isto é
\binom{n-1}{p-1}.
Explicação da fórmula: fixamos a_{1} e contamos subconjuntos de tamanho p-1 no resto; por exemplo, se n=5 e p=3, então escolhemos 2 de entre 4, dando \binom{4}{2}=6 subconjuntos que contêm a_{1}.

Passo 4

(b) Contar p-conjuntos nos quais a_{1} não figura.
Raciocínio: se a_{1} não pode ser usado, então todos os p elementos vêm dos n-1 restantes \{a_{2},\dots,a_{n}\}. Logo o número é
\binom{n-1}{p}.
Interpretação simples: escolhemos p elementos de um conjunto de n-1 elementos.

Passo 5

(c) Contar p-conjuntos nos quais a_{1} e a_{2} figuram.
Raciocínio: se ambos a_{1} e a_{2} já estão no subconjunto, faltam escolher p-2 elementos entre os n-2 restantes \{a_{3},\dots,a_{n}\}. Portanto o número é
\binom{n-2}{p-2}.
Exemplo: n=6, p=3 → escolher 1 entre 4 restantes → \binom{4}{1}=4 subconjuntos que contêm a_{1} e a_{2}.

Passo 6

(d) Contar p-conjuntos nos quais “pelo menos um” dos elementos a_{1},a_{2} figura.
Duas abordagens equivalentes (explico as duas porque é útil na prova):
Método 1 — inclusão-exclusão: seja A o conjunto de p-conjuntos que contêm a_{1} e B o conjunto que contêm a_{2}. Queremos |A\cup B|. Pela fórmula de inclusão-exclusão,
|A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B|.
Usando resultados já obtidos: |A|=\binom{n-1}{p-1}, |B|=\binom{n-1}{p-1} e |A\cap B|=\binom{n-2}{p-2}. Substituindo,
|A\cup B| = 2\binom{n-1}{p-1} - \binom{n-2}{p-2}.
Método 2 — complemento: conte todos os p-conjuntos e subtraia os que não têm nem a_{1} nem a_{2}. O número de p-conjuntos sem a_{1} nem a_{2} é \binom{n-2}{p} (escolher os p entre os n-2 restantes). Logo
|A\cup B| = \binom{n}{p} - \binom{n-2}{p}.
Ambas as expressões são equivalentes; se quiser ver a igualdade rapidamente, use identidades de Pascal:
\binom{n}{p}-\binom{n-2}{p} = \bigl(\binom{n-1}{p}+\binom{n-1}{p-1}\bigr)-\binom{n-2}{p} = \bigl(\binom{n-2}{p}+\binom{n-2}{p-1}+\binom{n-1}{p-1}\bigr)-\binom{n-2}{p}
= \binom{n-2}{p-1}+\binom{n-1}{p-1} = \binom{n-2}{p-1}+\bigl(\binom{n-2}{p-1}+\binom{n-2}{p-2}\bigr) =2\binom{n-1}{p-1}-\binom{n-2}{p-2},
mostrando que as duas formas coincidem (aqui usei sucessivamente \binom{n}{p}=\binom{n-1}{p}+\binom{n-1}{p-1} e \binom{n-1}{p}=\binom{n-2}{p}+\binom{n-2}{p-1} e depois de novo Pascal).

Resposta

\binom{n-1}{p-1}
\binom{n-1}{p}
\binom{n-2}{p-2}
2\binom{n-1}{p-1}-\binom{n-2}{p-2} (equivalente a \binom{n}{p}-\binom{n-2}{p})

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