Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos. De quantos modos diferentes eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada um deve convidar 6 pessoas?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • O homem tem 5 amigas e 7 amigos.
    • A esposa tem 7 amigas e 5 amigos.
    • Cada um (o homem e a esposa) deve convidar exatamente 6 pessoas.
    • No total, entre os dois, devem ser convidados 6 amigas e 6 amigos.
  • O que o enunciado pede:
    • Contar de quantos modos diferentes eles podem fazer os convites, respeitando as restrições acima.

Passo 2

Definir variáveis e reduzir as restrições a relações simples.
  • Seja f_m o número de amigas que o homem convida. Então o homem convida também 6-f_m amigos (porque ele convida 6 pessoas no total).
  • Seja f_w o número de amigas que a esposa convida. Então a esposa convida 6-f_w amigos.
  • A condição de total de amigas e amigos é: f_m + f_w = 6(se somam 6 amigas; daí os amigos somam automaticamente 12-(f_m+f_w)=6, então essa é a única exigência conjunta).
  • Restrições por disponibilidade:
    • O homem só pode escolher f_m entre 0 e 5 (pois tem 5 amigas) e 6-f_m deve ser \le 7 (tem 7 amigos). A segunda é sempre satisfeita para f_m em 0,\dots,5.
    • A esposa só pode escolher f_w entre 0 e 7 (tem 7 amigas) e 6-f_w deve ser \le 5 (tem 5 amigos). A segunda condição dá f_w \ge 1.
  • Juntando tudo e usando f_w=6-f_m, os valores possíveis de f_m são f_m\in\{0,1,2,3,4,5\},com f_w=6-f_m\in\{6,5,4,3,2,1\}. São 6 casos possíveis para a divisão do número de amigas convidadas entre os dois.

Passo 3

Como contar as escolhas num dado caso f_m.
  • Para o homem:
    • Escolher f_m amigas dentre 5 é feito de \binom{5}{f_m} maneiras.
    • Escolher 6-f_m amigos dentre 7 é feito de \binom{7}{6-f_m} maneiras.
  • Para a esposa:
    • Escolher f_w=6-f_m amigas dentre 7 é \binom{7}{6-f_m} maneiras.
    • Escolher 6-f_w=f_m amigos dentre 5 é \binom{5}{f_m} maneiras.
  • As escolhas do homem e da esposa são independentes (conjuntos de amigos distintos), então, para um dado f_m, o número de modos é o produto: \binom{5}{f_m}\binom{7}{6-f_m}\binom{7}{6-f_m}\binom{5}{f_m}.
  • Podemos simplificar a expressão agrupando termos iguais: \left(\binom{5}{f_m}\right)^2\left(\binom{7}{6-f_m}\right)^2.

Passo 4

Montar a soma total sobre os casos possíveis de f_m.
  • A contagem total é a soma sobre f_m=0,1,2,3,4,5: \sum_{f_m=0}^{5}\left(\binom{5}{f_m}\right)^2\left(\binom{7}{6-f_m}\right)^2.

Passo 5

Calcular termo a termo (vou mostrar os binomiais e o produto em cada caso).
  • Caso f_m=0 (então f_w=6):
    \binom{5}{0}=1,\quad \binom{7}{6}=7.
    Produto: 1^2\cdot7^2=49.
  • Caso f_m=1 (então f_w=5):
    \binom{5}{1}=5,\quad \binom{7}{5}=\binom{7}{2}=21.
    Produto: 5^2\cdot21^2=25\cdot441=11025.
  • Caso f_m=2 (então f_w=4):
    \binom{5}{2}=10,\quad \binom{7}{4}=35.
    Produto: 10^2\cdot35^2=100\cdot1225=122500.
  • Caso f_m=3 (então f_w=3):
    \binom{5}{3}=10,\quad \binom{7}{3}=35.
    Produto: 10^2\cdot35^2=122500 (mesmo que o caso anterior por simetria).
  • Caso f_m=4 (então f_w=2):
    \binom{5}{4}=5,\quad \binom{7}{2}=21.
    Produto: 5^2\cdot21^2=11025 (mesmo que f_m=1).
  • Caso f_m=5 (então f_w=1):
    \binom{5}{5}=1,\quad \binom{7}{1}=7.
    Produto: 1^2\cdot7^2=49 (mesmo que f_m=0).

Passo 6

Somar todos os termos para obter o total.
  • Soma: 49 + 11025 + 122500 + 122500 + 11025 + 49.
  • Agrupando: (49+49) + (11025+11025) + (122500+122500) = 98 + 22050 + 245000.
  • Resultado final da soma: 98 + 22050 + 245000 = 267148.

Resposta

267148

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