Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos. De quantos modos diferentes eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada um deve convidar 6 pessoas?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados extraídos do enunciado:
- O homem tem
amigas e amigos. - A esposa tem
amigas e amigos. - Cada um (o homem e a esposa) deve convidar exatamente
pessoas. - No total, entre os dois, devem ser convidados
amigas e amigos.
- O homem tem
-
O que o enunciado pede:
- Contar de quantos modos diferentes eles podem fazer os convites, respeitando as restrições acima.
Passo 2
Definir variáveis e reduzir as restrições a relações simples.
- Seja
o número de amigas que o homem convida. Então o homem convida também amigos (porque ele convida pessoas no total). - Seja
o número de amigas que a esposa convida. Então a esposa convida amigos. - A condição de total de amigas e amigos é:
(se somam amigas; daí os amigos somam automaticamente , então essa é a única exigência conjunta). - Restrições por disponibilidade:
- O homem só pode escolher
entre e (pois tem amigas) e deve ser (tem amigos). A segunda é sempre satisfeita para em . - A esposa só pode escolher
entre e (tem amigas) e deve ser (tem amigos). A segunda condição dá .
- O homem só pode escolher
- Juntando tudo e usando
, os valores possíveis de são com . São casos possíveis para a divisão do número de amigas convidadas entre os dois.
Passo 3
Como contar as escolhas num dado caso
.
- Para o homem:
- Escolher
amigas dentre é feito de maneiras. - Escolher
amigos dentre é feito de maneiras.
- Escolher
- Para a esposa:
- Escolher
amigas dentre é maneiras. - Escolher
amigos dentre é maneiras.
- Escolher
- As escolhas do homem e da esposa são independentes (conjuntos de amigos distintos), então, para um dado
, o número de modos é o produto: - Podemos simplificar a expressão agrupando termos iguais:
Passo 4
Montar a soma total sobre os casos possíveis de
.
- A contagem total é a soma sobre
:
Passo 5
Calcular termo a termo (vou mostrar os binomiais e o produto em cada caso).
-
Caso
(então ): Produto:. -
Caso
(então ): Produto:. -
Caso
(então ): Produto:. -
Caso
(então ): Produto:(mesmo que o caso anterior por simetria). -
Caso
(então ): Produto:(mesmo que ). -
Caso
(então ): Produto:(mesmo que ).
Passo 6
Somar todos os termos para obter o total.
- Soma:
- Agrupando:
- Resultado final da soma: