Quantos são os subconjuntos de \left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right\}, com p elementos, nos quais:
pelo menos um dos elementos a_{1} e a_{2} figura;

Passo 1

O que o enunciado pede: contar quantos subconjuntos de p elementos do conjunto \{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\} têm a propriedade “pelo menos um dos elementos a_{1} e a_{2} figura”.\n
Informações dadas e condições relevantes:\n
  • O universo é o conjunto com n elementos \{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\}.\n
  • Queremos subconjuntos com exatamente p elementos.\n
  • A condição é que contenham a_{1} ou a_{2} (ou ambos).\n
  • Não há outras restrições; assumimos 0\le p\le n.

Passo 2

Revisão rápida da ferramenta principal: contagem de subconjuntos (combinações).\n
  • O número total de subconjuntos de p elementos de um conjunto com n elementos é dado por
\binom{n}{p}.
  • Aqui \binom{n}{p} (lê-se “n escolhe p”) significa o número de maneiras de escolher p elementos distintos dentre n, sem ordem.\n
  • Fórmula explícita para \binom{n}{p}:
\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!},
onde n! (fatorial) é n\times(n-1)\times\cdots\times1. Essa fórmula é usada para calcular combinações quando necessário.

Passo 3

Método 1 — usar o complemento (muito prático).\n
  • Pense no conjunto de todos os subconjuntos de p elementos; são \binom{n}{p} ao todo.\n
  • Dos subconjuntos de p elementos, os que NÃO satisfazem "pelo menos um de a_{1} e a_{2}" são exatamente aqueles que NÃO contêm nem a_{1} nem a_{2}. Ou seja, todos os p elementos vêm dos n-2 elementos restantes.\n
  • O número desses subconjuntos (sem a_{1} nem a_{2}) é
\binom{n-2}{p},
pois escolhemos p dentre os n-2 restantes.\n
  • Logo, pelo princípio do complemento (total menos os indesejáveis), o número desejado é
\binom{n}{p}-\binom{n-2}{p}.

Passo 4

Método 2 — contagem por casos disjuntos (confere com o método 1 e ajuda a entender):\n
Separe os subconjuntos válidos em casos mutuamente exclusivos:\n
  1. Contêm a_{1} mas NÃO contêm a_{2}.\n
    • Já incluímos a_{1}, falta escolher p-1 elementos dentre os n-2 restantes, logo há
    \binom{n-2}{p-1}tais subconjuntos.\n
  2. Contêm a_{2} mas NÃO contêm a_{1}.\n
    • Pela mesma razão, há
    \binom{n-2}{p-1}desses subconjuntos.\n
  3. Contêm ambos a_{1} e a_{2}.\n
    • Já incluímos a_{1} e a_{2}, falta escolher p-2 dentre os n-2 restantes, logo
    \binom{n-2}{p-2}.
Somando casos (são disjuntos), obtemos
2\binom{n-2}{p-1}+\binom{n-2}{p-2}.

Passo 5

Verificação de equivalência entre as expressões dos dois métodos (para você ficar seguro):\n
  • Usando a identidade de Pascal \binom{m}{k}=\binom{m-1}{k}+\binom{m-1}{k-1}, podemos transformar as expressões e verificar que
\binom{n}{p}-\binom{n-2}{p}=2\binom{n-2}{p-1}+\binom{n-2}{p-2}.
Uma maneira curta: escreva \binom{n}{p}=\binom{n-1}{p}+\binom{n-1}{p-1} e \binom{n-1}{p}=\binom{n-2}{p}+\binom{n-2}{p-1}, substitua e simplifique; vai sobrar exatamente a soma dos termos do método por casos.

Passo 6

Exemplo numérico para fixar a ideia (é sempre útil):\n
  • Tome n=5 e p=2. Então o total de pares é \binom{5}{2}=10.\n
  • Subconjuntos que não têm a_{1} nem a_{2}: escolher 2 dentre os 3 restantes \Rightarrow \binom{3}{2}=3.\n
  • Pelo complemento, desejamos 10-3=7 subconjuntos.\n
  • Listando: \{a_{1},a_{2}\},\{a_{1},a_{3}\},\{a_{1},a_{4}\},\{a_{1},a_{5}\},\{a_{2},a_{3}\},\{a_{2},a_{4}\},\{a_{2},a_{5}\}. São 7 — batendo com a fórmula.

Passo 7

Recapitulando e encorajamento rápido: a forma mais direta é usar complemento; a alternativa por casos dá intuição extra. Você consegue aplicar a mesma ideia para “pelo menos k de certos elementos” ou situações parecidas. Vai dar certo na prova — respira, resolve passo a passo que você já tem a receita.

Resposta

\displaystyle \binom{n}{p}-\binom{n-2}{p}

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