Quantos são os subconjuntos de
, com
elementos, nos quais:
pelo menos um dos elementos
e
figura;
pelo menos um dos elementos
Passo 1
O que o enunciado pede: contar quantos subconjuntos de
elementos do conjunto
têm a propriedade “pelo menos um dos elementos
e
figura”.\n
Informações dadas e condições relevantes:\n
Informações dadas e condições relevantes:\n
- O universo é o conjunto com
elementos .\n - Queremos subconjuntos com exatamente
elementos.\n - A condição é que contenham
ou (ou ambos).\n - Não há outras restrições; assumimos
.
Passo 2
Revisão rápida da ferramenta principal: contagem de subconjuntos (combinações).\n
- O número total de subconjuntos de
elementos de um conjunto com elementos é dado por
- Aqui
(lê-se “n escolhe p”) significa o número de maneiras de escolher elementos distintos dentre , sem ordem.\n - Fórmula explícita para
:
onde
(fatorial) é
. Essa fórmula é usada para calcular combinações quando necessário.
Passo 3
Método 1 — usar o complemento (muito prático).\n
- Pense no conjunto de todos os subconjuntos de
elementos; são ao todo.\n - Dos subconjuntos de
elementos, os que NÃO satisfazem "pelo menos um de e " são exatamente aqueles que NÃO contêm nem nem . Ou seja, todos os elementos vêm dos elementos restantes.\n - O número desses subconjuntos (sem
nem ) é
pois escolhemos
dentre os
restantes.\n
- Logo, pelo princípio do complemento (total menos os indesejáveis), o número desejado é
Passo 4
Método 2 — contagem por casos disjuntos (confere com o método 1 e ajuda a entender):\n
Separe os subconjuntos válidos em casos mutuamente exclusivos:\n
Separe os subconjuntos válidos em casos mutuamente exclusivos:\n
- Contêm
mas NÃO contêm .\n - Já incluímos
, falta escolher elementos dentre os restantes, logo há
tais subconjuntos.\n - Já incluímos
- Contêm
mas NÃO contêm .\n - Pela mesma razão, há
desses subconjuntos.\n - Contêm ambos
e .\n - Já incluímos
e , falta escolher dentre os restantes, logo
- Já incluímos
Somando casos (são disjuntos), obtemos
Passo 5
Verificação de equivalência entre as expressões dos dois métodos (para você ficar seguro):\n
- Usando a identidade de Pascal
, podemos transformar as expressões e verificar que
Uma maneira curta: escreva
e
, substitua e simplifique; vai sobrar exatamente a soma dos termos do método por casos.
Passo 6
Exemplo numérico para fixar a ideia (é sempre útil):\n
- Tome
e . Então o total de pares é .\n - Subconjuntos que não têm
nem : escolher 2 dentre os 3 restantes .\n - Pelo complemento, desejamos
subconjuntos.\n - Listando:
. São 7 — batendo com a fórmula.
Passo 7
Recapitulando e encorajamento rápido: a forma mais direta é usar complemento; a alternativa por casos dá intuição extra. Você consegue aplicar a mesma ideia para “pelo menos k de certos elementos” ou situações parecidas. Vai dar certo na prova — respira, resolve passo a passo que você já tem a receita.