De quantos modos podemos pôr três torres de três cores diferentes em um tabuleiro 8 times 8 de modo que nenhuma delas ataque outra?

Passo 1

Beleza, vamos colocar três torres (ou “rooks”) de três cores diferentes num tabuleiro de xadrez 8×8, de um jeito que nenhuma consiga atacar a outra.
Conteúdo: princípio multiplicativo em contagem e permutações simples.
O que precisamos saber:
  • Como torres se “atacam” (mesma linha ou mesma coluna).
  • Que, pra não se atacarem, cada torre tem de ficar em linha e coluna diferentes das outras.
  • Uso do princípio multiplicativo: se um evento tem A maneiras e outro tem B e são independentes, o total é A·B.

Passo 2

Vamos imaginar que colocamos as torres uma a uma, numa ordem fixa (digamos: vermelha, verde e depois azul).
  1. Pra torre vermelha: não tem nada no tabuleiro ainda, então ela pode ir em qualquer um dos 8·8 = 64 quadradinhos.
  2. Agora a torre verde: não pode ficar na mesma linha nem na mesma coluna da vermelha. Se a vermelha ocupou uma linha, restam 7 linhas; se ocupou uma coluna, restam 7 colunas. Então são 7·7 = 49 opções pra verde.
  3. Por fim, a torre azul: há agora 2 linhas “bloqueadas” e 2 colunas “bloqueadas” pelas torres anteriores, sobrando 6 linhas e 6 colunas livres, ou seja 6·6 = 36 opções.

Passo 3

Pelo princípio multiplicativo, o total de jeitos é
64 times 49 times 36
Basta multiplicar.

Resposta

64 times 49 times 36 ;=; 112,896
Logo, existem 112 896 modos de colocar as três torres sem que se ataquem.

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