Seja A, B, C e D pontos no plano. Suponha que AC e BD são retas concorrentes em P . Suponha que os circuncírculos de ABP e CDP possuam um segundo ponto de interseção O . Mostre que \Delta \mathrm{OAC} \sim \Delta \mathrm{OBD}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: sejam A,B,C,D pontos tais que as retas AC e BD se cruzam em P. Os circuncírculos de \triangle ABP e \triangle CDP se encontram novamente em O. Precisamos mostrar que \triangle OAC\sim\triangle OBD, ou seja, que
\angle OAC = \angle OBD \quad\text{e}\quad \angle OCA = \angle ODB.

Passo 2

Note que A,P,C são colineares (pois P\in AC) e B,P,D são colineares (pois P\in BD). Assim:
\angle OAC = \angle OAP \quad\text{e}\quad \angle OBD = \angle OBP,
porque substituir a reta AC por AP não muda o ângulo em A, e substituir BD por BP não muda o ângulo em B.

Passo 3

Como A,B,P,O são concíclicos, os ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco são iguais. Em particular, no círculo de ABP valem
\angle OAP = \angle OBP.

Passo 4

Combinando Passo 2 e Passo 3 obtemos
\angle OAC = \angle OAP = \angle OBP = \angle OBD.

Passo 5

De modo análogo, como C,D,P,O são concíclicos, no círculo de CDP temos
\angle OCP = \angle ODP.

Passo 6

Usando novamente a colinearidade:
\angle OCA = \angle OCP \quad\text{e}\quad \angle ODB = \angle ODP.
Logo,
\angle OCA = \angle OCP = \angle ODP = \angle ODB.

Passo 7

Encontramos
\angle OAC = \angle OBD \quad\text{e}\quad \angle OCA = \angle ODB,
portanto, por critério AA,
\triangle OAC \sim \triangle OBD.

Resposta

\triangle OAC\sim\triangle OBD.

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