Seja A, B, C e D pontos no plano. Suponha que AC e BD são retas concorrentes em P . Suponha que os circuncírculos de ABP e CDP possuam um segundo ponto de interseção O . Mostre que
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: sejam
pontos tais que as retas
e
se cruzam em
. Os circuncírculos de
e
se encontram novamente em
. Precisamos mostrar que
, ou seja, que
Passo 2
Note que
são colineares (pois
) e
são colineares (pois
). Assim:
porque substituir a reta
por
não muda o ângulo em
, e substituir
por
não muda o ângulo em
.
Passo 3
Como
são concíclicos, os ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco são iguais. Em particular, no círculo de
valem
Passo 4
Combinando Passo 2 e Passo 3 obtemos
Passo 5
De modo análogo, como
são concíclicos, no círculo de
temos
Passo 6
Usando novamente a colinearidade:
Logo,
Passo 7
Encontramos
portanto, por critério AA,