Estude a convergência das seguintes integrais impróprias:
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x}\,dx.
O conteúdo aqui é análise de integrais impróprias em intervalos infinitos. Para isso, vamos dividir a integral em dois trechos finitos e examinar cada um separadamente.

Passo 2

Identificamos que a integral é imprópria porque o domínio é não limitado em ambas as direções. Assim, escrevemos
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x}\,dx = \int_{-\infty}^{0} e^{-x}\,dx + \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx,
e estudamos a convergência de cada parcela usando limites.

Passo 3

Calculemos primeiro
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx.
Para b>0,
\int_{0}^{b} e^{-x}\,dx =\bigl[-e^{-x}\bigr]_{0}^{b} = -e^{-b}+e^{0} =1 - e^{-b}.
Tomando o limite b\to+\infty, e^{-b}\to0, logo
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx = 1.

Passo 4

Agora avaliaremos
\int_{-\infty}^{0} e^{-x}\,dx.
Para a<0,
\int_{a}^{0} e^{-x}\,dx =\bigl[-e^{-x}\bigr]_{a}^{0} = -e^{0} + e^{-a} = -1 + e^{-a}.
Quando a\to -\infty, e^{-a}=e^{+\infty}\to+\infty. Portanto
\int_{-\infty}^{0} e^{-x}\,dx = \lim_{a\to-\infty}(-1+e^{-a}) = +\infty,
ou seja, essa parte diverge.

Passo 5

Como a parcela \displaystyle\int_{-\infty}^{0} e^{-x}\,dx diverge, a integral total
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x}\,dx também diverge.

Resposta

A integral diverge; não é convergente.

Exercícios relacionados