Quantos números naturais de quatro algarismos existem, tais que:
sejam múltiplos de 5 e tenham os algarismos distintos?
sejam múltiplos de 5 e tenham os algarismos distintos?
Passo 1
O enunciado pede a quantidade de números naturais de quatro algarismos (ou seja, de
a
) que sejam múltiplos de
e tenham todos os seus algarismos distintos.
Para um número ser múltiplo de , seu último dígito deve ser
ou
.
Vamos separar em dois casos: último dígito igual a e último dígito igual a
, e contar em cada caso as possibilidades de escolher os outros três dígitos de forma que sejam distintos e o primeiro dígito não seja zero.
Para um número ser múltiplo de
Vamos separar em dois casos: último dígito igual a
Passo 2
Caso o último dígito seja
.
Denotemos o número por .
Denotemos o número por
-
(primeiro dígito) pode ser qualquer de , ou seja, escolhas. -
(segundo dígito) pode ser qualquer dígito exceto e exceto o já usado, restam escolhas. -
(terceiro dígito) pode ser qualquer dígito exceto , e , restam escolhas.
Portanto, o número de casos com último dígitoé
Passo 3
Caso o último dígito seja
.
Denotemos o número por .
Denotemos o número por
-
pode ser qualquer de exceto , ou seja, escolhas. -
pode ser qualquer dígito exceto e , restam escolhas. -
pode ser qualquer dígito exceto , e , restam escolhas.
Logo, o número de casos com último dígitoé
Passo 4
Somando as duas situações, obtemos o total de números de quatro algarismos, múltiplos de
e com algarismos distintos: