Quantos números naturais de quatro algarismos existem, tais que:
sejam múltiplos de 5 e tenham os algarismos distintos?

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de números naturais de quatro algarismos (ou seja, de 1000 a 9999) que sejam múltiplos de 5 e tenham todos os seus algarismos distintos.
Para um número ser múltiplo de 5, seu último dígito deve ser 0 ou 5.
Vamos separar em dois casos: último dígito igual a 0 e último dígito igual a 5, e contar em cada caso as possibilidades de escolher os outros três dígitos de forma que sejam distintos e o primeiro dígito não seja zero.

Passo 2

Caso o último dígito seja 0.
Denotemos o número por ABC0.
  • A (primeiro dígito) pode ser qualquer de 1,2,dots,9, ou seja, 9 escolhas.
  • B (segundo dígito) pode ser qualquer dígito exceto A e exceto o 0 já usado, restam 10-2 = 8 escolhas.
  • C (terceiro dígito) pode ser qualquer dígito exceto A, B e 0, restam 10-3 = 7 escolhas.
    Portanto, o número de casos com último dígito 0 é
N0 = 9 times 8 times 7 = 504

Passo 3

Caso o último dígito seja 5.
Denotemos o número por ABC5.
  • A pode ser qualquer de 1,2,dots,9 exceto 5, ou seja, 8 escolhas.
  • B pode ser qualquer dígito exceto A e 5, restam 10-2 = 8 escolhas.
  • C pode ser qualquer dígito exceto A, B e 5, restam 10-3 = 7 escolhas.
    Logo, o número de casos com último dígito 5 é
N5 = 8 times 8 times 7 = 448

Passo 4

Somando as duas situações, obtemos o total de números de quatro algarismos, múltiplos de 5 e com algarismos distintos:
N = N0 + N5 = 504 + 448 = 952

Resposta

952

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