Exemplo 1.5.1. De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 7 crianças, de modo que duas determinadas dessas crianças não fiquem juntas?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de dispor 7 crianças em uma roda de ciranda de modo que duas crianças determinadas não fiquem juntas. Aqui usamos permutações circulares e o princípio do complemento: vamos contar todas as disposições e depois excluir aquelas em que as duas estão lado a lado.

Passo 2

O número total de arranjos de 7 crianças em círculo é dado por permutações circulares, isto é,
(7-1)!=6!=720.

Passo 3

Para contar os arranjos em que as duas crianças específicas ficam juntas, tratamos esse par como um único bloco. Assim temos 6 objetos em círculo, o que gera
(6-1)!=5!=120
permutações. Dentro do bloco as duas podem trocar de lugar em 2 ordens, então o total de casos com elas juntas é
2times120=240.

Passo 4

Aplicando o princípio do complemento, subtraímos os casos indesejados do total:
720 - 240 = 480

Resposta

480

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