Exemplo 1.5.1. De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 7 crianças, de modo que duas determinadas dessas crianças não fiquem juntas?
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de dispor
crianças em uma roda de ciranda de modo que duas crianças determinadas não fiquem juntas. Aqui usamos permutações circulares e o princípio do complemento: vamos contar todas as disposições e depois excluir aquelas em que as duas estão lado a lado.
Passo 2
O número total de arranjos de
crianças em círculo é dado por permutações circulares, isto é,
.
Passo 3
Para contar os arranjos em que as duas crianças específicas ficam juntas, tratamos esse par como um único bloco. Assim temos
objetos em círculo, o que gera
permutações. Dentro do bloco as duas podem trocar de lugar em ordens, então o total de casos com elas juntas é
.
permutações. Dentro do bloco as duas podem trocar de lugar em
Passo 4
Aplicando o princípio do complemento, subtraímos os casos indesejados do total: